Mundarija kirish 3 asosiy qism 5

2. O’zgarmas koeffisiyentli ikkinchi tartibli bir jinsli chiziqli tenglamalar.
Ta’rif: O’zgarmas koeffisiyentli bir jinsli differensial tenglama deb (1) ko’rinishdagi tenglamaga aytiladi.
Bunda yuqoridagi teoremalarga asosan bu tenglamaning umumiy yechimini topish uchun uning
ikkita chiziqli erkli xususiy yechimini topish yetarlidir. Tenglamani yechish uchun
deb faraz qilamiz, bu yerda k nolga teng bo’lmagan o’zgarmas son.
Hosilalarni topamiz:
Bularni (1) tenglamaga keltirib qo’yamiz:
(2)
bo’lgani uchun (1.15) tenglamada
(3)
bo’ladi. Demak, k (2) tenglamani qanoatlantirsa, tenglamaning yechimi bo’ladi.
3. Xarakteristik tenglama.
(3) tenglama (1) xarakteristik tenglamasi deyiladi. (2) tenglama ikkita ildizga ega
bo’ladi, ularni k1 va k2 bilan belgilaymiz: ;
Bu yerda quyidagi hollar bo’lishi mumkin:
1. va haqiqiy va bir – biriga teng emas :
2. va haqiqiy va bir – biriga teng :
3. va kompleks sonlar;
Har bir holni alohida – alohida ko’rib chiqa miz:
a) xarakteristik tenglamaning ildizlari haqiqiy va har xil .
Bu holda
,
funksiyalar xususiy yechimlar bo’lib, tenglamaning umumiy yechimi
ko’rinishda bo’ladi. Haqiqatan ham, va larni topamiz:
,
bularni (1.15) tenglamaga qo’yamiz:

Chap tomondagi qavslarni ochib, gruppalaymiz

Yoki (4)
va lar (2) tenglamaning ildizlari bo’lganligi uchun, (4) ning chap tomonidagi qavs ichidagi ifodalar no lga teng va umuman chap tomoni ham nolga teng bo’ladi.
Demak, funksiya berilgan differensial tenglamaning umumiy yechimi bo’ladi.
Misol. tenglamaning xarakteristik tenglamasi ; Demak, tenglamaning umumiy yechimi quyidagicha bo’ladi.
b) xarakteristik tenglamaning ildizlari haqiqiy va teng. Bu holda bo’lib, Yoki bo’lib. Bitta xususiy yechimi ma’lumdir. Ikkinchi xususiy yechimini ko’rinishda izlaymiz. Bu yerda aniqlanishi kerak bo’lgan noma’lum funksiya. aniqlash uchun va larni topamiz:

Bularni (1.15) tenglamaga keltirib qo’yamiz:

yoki k xarakteristik tenglamaning karrali ildizi va bo’lgani uchun yoki bo’lishi kerak. Uni integrallab


ni topamiz. Xusuxiy holda deb olsak, bo’ladi.
Shunday qilib, ikkinchi xususiy yechim kabi bo’ladi. Bularni nazarda tutsak, umumiy yechimni ko’rinishida yozish mumkin. Misol.
tenglamaning xarakteristik tenglamasi bo’lib uning ildizlari dir.
Demak, tenglamaning umumiy yechimi
v) xarakteristik tenglamaning ildizlari komoleks sonlar bo’lgan hol. Ildizlar
ko’rinishda bo’lsin. U holda differensial tenglamaning xususiy yechimlari
ko’rinishda bo’ladi. va lar (1.16) tenglamani qanoatlantirdi.Biz quydagi natijadan foydalanamiz:
Agar haqiqiy koeffisiyentli bir jinsli chiziqli tenglamaning xususiy yechimi kompleks sonlardan
iborat bo’lsa, u holda uning haqiqiy va mavhum qismlari ham shu tenglamaning yechimi bo’ladi.
Binobarin, xususiy yechim bo’lgani uchun
bo’lgani uchun , lar ham(1.16) tenglamaning yechimi bo’adi.Binobarin,
xususiy yechimi bo’lgani uchun ,
lar ham (1.16)tenglamaning yechimibo’adi.Sunday qilib (2)differensial tenglamaning umumiy yechimi ko’rinishdan bo’adi. Misol
tenglamaning xarakteristik tenglamasi bo’lib, uning ildizlari
dan iborat. Tenglamaning umumiy yechimi quyidagicha bo’lad: