Mundarija kirish 3 asosiy qism 5

1.4 Ikkinchi tartibli differensial tenglamalar.

ko’rinishdagi tenglamalar rng soda, ikkinchi tartibli differensial tenglamalar deyiladi. Bunday tenglamalarni belgilash kiritib yechiladi. U holda yoki bo’ladi. Ikkala tomondan integral olsak:
bo’ladi. Bundan yana bir marta integral olsak: Bu berilgan , ikkinchi tartibli differensial tenglamaning umumiy yechimi bo’ladi. Misol. tenglamani yeching.

Yechishi. belgilash kiritamiz, natijada:
yoki
bundan Integral olsak:
Shunday qilib, umumiy yechim quyidagicha bo’ladi:
Tekshirish: yoki Bir jinsli chiziqli tenglamalar. Ushbu (1.11)
(bunda lar x ning funksiyalari yoki o’zgarmas sonlar) ko’rinishdagi tenglama
ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglama deyiladi Agar bo’lsa (1.11) tenglama, ya’ni (1.12)
tenglama bir jinsli chiziqli tenglama deyiladi. (1.11) va (1.12) tenglamalarning chap tomoni larga nisbatan birinchi darajali bir jinsli funksiyadir.
1 – teorema. Agar va – ikkinchi tartibli bir jinsli (1.13) differensial tenglamaning ikkita xususiy yechimi bo’lsa , u holda ham bu tenglamaning yechimi bo’ladi
Isbot. va ni qo’yamiz va (1.13) ni e’tiborga olsak:
bo’ladi va ham tenglamaning yechimi ekanligi kelib chiqadi. 2 – teorema. Agar (1.12)
tenglamaning yechimi bo’lib, C ixtiyoriy o’zgarmas miqdor bo’lib, u holda ham (1.12) tenglamaning yechimi bo’ladi. Isbot. (1.12) tenglamaga ni qo’yamiz, u holda
Bo’ladi. Teorema isbotlandi.
3 – teorema. Agar .va (1.12) tenglamaning ikkita chiziqli erkli yechimi bo’lsa, u holda
(bu yerda C1 va C2 ixtiyoriy o’zgarmas miqdorlar) ham (1.12) tenglamaning umumiy yechimi bo’ladi. Bu teoremaning isboti 1 – va 2 – teoremalarda kelib chiqad.