Mundarija kirish 3 asosiy qism 5

1.3 Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar.

Bernulli tenglamasi.
Birinchi tartibli differensial tenglamaning chap qismi va larga chiziqli bog`liq shakliga chiziqli tenglama deyiladi. Chiziqli, birinchi tartibli differensial tenglama,


(1.6)
ko`rinishda yozilishi mumkin.
(1.6) tenglamani integrallash jarayoni, odatda, ikki bosqichdan iborat. Dastlab, tenglama o`ng tomonidagi f(x) funksiyani 0 bilan almashtiriladi va
(1.7)
tenglamaning umumiy yechimi topiladi. (1.7) tenglama (1.6) tenglamaning mos chiziqli bir jinsli tenglamasi deyiladi. (1.6) tenglamaning o`zi esa, agar bo`lsa, bir jinsli bo`lmagan tenglama deyiladi. Bir jinsli tenglamaning umumiy yechimi qurilgandan so`ng, bir jinsli bo`lmagan tenglamaning biror-bir xususiy yechimi topiladi.
Bir jinsli bo`lmagan (1) tenglama umumiy yechimi, ushbu tenglama biror-bir xususiy yechimi bilan uning mos bir jinsli tenglamasi umumiy yechimlari yig`indisiga teng.
Birinchi bosqichda bir jinsli (1.7) tenglamani yechamiz.
Tenglama o`zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglama bo`lgani uchun,
.
Oxirgi tenglamani integrallab, umumiy yechimni quramiz, bu yerda, flinksiya ning boshlang`ich funksiyalaridan bin.
lkkinchi bosqichda (1.6) tenglama xususiy yechimlaridan birini ixtiyoriy o`zgarmasni variatsiyalash usulida, ya`ni xususiy yechimni shaklda qidiramiz. Ushbu ifodani (1.6) tenglamaga qo`yamiz va noma`lum funksiyaga nisbatan, tenglamani olamiz.
munosabat o`rinli bo`lgani uchun, tenglamaning chap tomondagi ikkinchi va uchinchi hadlari o`zaro yeyi-shadi. Natijada,
yoki
tenglama kelib chiqadi. Uni integrallab, cheksiz ko`p
boshlang`ich funksiyalardan birini tanlaymiz. Masala. tenglamani yeching.Tenglama shaklda yozilishi mumkin va chiziqli tenglamadir. Tenglamaning mos bir jinsli tenglamasi ko`rinishga ega. O`zgaruvchilarni ajratib, so`ngra integrallaymiz:
Dastlabki bir jinslimas tenglamaning xususiy yechimi y₀(x) ni y₀(x) = u(x)·e^x2 ko`paytma ko`rinishida topamiz:
= ·
va umumiy yechimdan xususiy yechimni tanlaymiz. Natijada, y₀(x) = =, shunday qilib, berilgan tengl(amaning umumiy yechimini xususiy va mos bir jinsli tenglama umumiy yechimi larning yig`indisidan iborat:
;
Chiziqli differensial tenglamani yechishda qo`llanilgan usul ba`zi chiziqsiz tenglamalarni ham yechish imkonini beradi. Xususan, chiziqsiz
(1.8)
Bernulli tenglamasi deb yuritiladigan tenglamani yuqoridagi usulni qo`llab, yechish mumkin. Dastlab, bir jinsli tenglamaning yechimlaridan biri ni topamiz.
(1.8) tenglama umumiy yechimini ko`rinishda qidiramiz. Natijada, noma`lum u(x) ga nisbatan,
o`zgaruvchilari ajraladigan tenglama kelib chiqadi va integrallanadi.
Masala. tenglamani yeching.
Dastlab, bir jinsli tenglamani integrallaymiz va uning umumiy yechimini olamiz. Yechimlaridan biri sifatida funksiyani qarash mumkin. So`ngra, berilgan tenglamada almashtirish bajaramiz:
yoki .
Oxirgi tenglamani integrallab, tenglikni olamiz. Natijada, tenglama umumiy yechimi: