Муҳаммад ал-хоразмий номидаги тошкент ахборот технологиялари

 
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ АЛГОРИТМ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ 
УСТОЙЧИВОСТИ ПЛАСТИН СЛОЖНЫХ КОНФИГУРАЦИЙ ПРИ 
ОДНОРОДНОМ НАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИИ 
Ш.Б Корёгдиев 
Ташкентский университет информационных технологий имени Мухаммада 
ал-Хоразмий
В данной статье приводится вычислительный алгоритм для расчета 
пластин сложных конфигураций при однородно напряженном состоянии.

---

88 
(1.2) 
(1.1) 


=
























+




+




+




+








+



+


S
j
i
j
i
j
i
j
i
S
i
y
i
xy
i
x
dS
x
y
y
x
r
y
y
r
x
x
r
dS
y
M
y
x
M
x
M
0
2
3
2
1
2
2
2
2
2












(
)
(
)
(
)
0
~
~
~
~
~
~
~
~
~
~
)
1
(
2
~
~
~
~
~
~
,
2
,
1
,
1
,
2
3
,
2
,
2
2
,
1
,
1
1
,
5
,
5
,
6
,
4
,
6
,
4
,
6
,
4
=








+
+
+
+
+








−
+
+
+
+
+


dS
r
r
r
dS
S
j
i
j
i
j
i
j
i
S
j
i
i
i
i
j
i
i




















0
*
=
− Eu
u
A

Задача статического расчета устойчивости пластин сложных форм 
сводится к метод Бубнова-Галеркина [3]. 
Как было отмечено в работе [1], непосредственное применение метода 
Бубнова-Галеркина к решению уравнения приводит к вычислительным 
сложностям. Поэтому, используя способ, примененный в [1], получим: 
где 

- наименьшее критическое значение, подлежащее определению; 
(1.3) 
Уравнение (1.2) можно переписать в матричной форме: 
0
=
−
u
B
u
A



(1.4) 
где 
пл
ij
y
ij
ij
a
a
a
A
−
=
=
}
{
~
(1.5) 
ij
ij
ij
b
D
h
b
B
=
=
}
{
~
}
{
i
ij
u
u =


=
G
ij
y
ij
dG
P
a
; 

=
G
ij
пл
ij
dG
P
a
*
; 

=
G
ij
ij
dG
R
b
; 
(
)
(
)
(
)
j
i
j
i
i
j
i
i
ij
P
,
5
,
5
,
6
,
4
,
6
,
4
,
6
,
4
~
~
1
2
~
~
~
~
~
~











−
+
+
+
+
=
;
(1.6) 
(
)
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
ij
r
r
r
r
r
r
r
r
r
P
,
5
,
5
3
,
5
,
6
,
6
,
5
2
1
,
5
,
4
,
4
,
5
3
1
,
6
,
4
,
4
,
6
2
1
,
6
,
,
6
2
,
4
,
4
1
*
~
~
1
~
~
1
~
~
2
~
~
1
~
~
2
~
~
~
~
~
~
~
~





















+






+
+






+
+
+
+
+
=
(
)
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
r
r
r
R
,
2
,
1
,
1
,
2
3
,
2
,
2
2
,
1
,
1
1
,
~
~
~
~
~
~
~
~








+
+
+
=
(1.7) 
Если r
1
=1, r
2
=r
3
=0, то пластина сжимается усилиями N
x 
Если r
2
=1, r
1
=r
3
=0, то пластинка сжимается усилиями N
у
; 
Если r
1
=r
2
=1, r
3
=0 если пластинка сжата усилиями N
x 
и N
y 
и т.д.. 
i
i
i
i
,
4
,
3
,
2
,
1
~
,
~
,
~
,
~




определяются по формулам (1.3) 
Для вычисления двухкратных интегралов была использована n-точечная 
квадратурная формула Гаусса [2]. 
Нахождение же минимального критического значения 

в уравнении 
(1.4) сведем к виду: 
(1.8) 
где А
*
 = А В
-1
, В
-1
- обратная матрица; Е - единичная матрица. 
Матрица А
*
не всегда будет симметричной, вследствие чего 
целесообразно ортонормировать в (1.4) линейно-независимую систему 
b
a
y
y
x
x
y
x
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
=


=



=


=


=


=














,
~
,
~
,
~
,
~
,
~
2
2
,
6
2
,
5
2
2
2
,
4
,
2
,
1

---

89 
координатных функций 

i
(х,у) по бигармоническому оператору А и В. 
Алгоритм построения ортонормированной системы 

i
(х,у), удовлетворяющие 
граничному условию (1.6) приведен в [3]. 
Для решения уравнений типа (1.8) существует множество методов, в 
частности методы: Данилевского, Крылова, Леверье, Якоби, QR- и QL-
методы, и другие. Но классические методы (Данилевского, Крылова и 
Леверье) приводят к решению алгебраических уравнений n-ой степени и при 
n>4 сильно ухудшается точность результатов, так как элементы матрицы А
*
быстро растут. Поэтому более удобнее применение методов Якоби или QR- и 
QL-методов. Но как было указано в [2] применение QR- (или QL)-метода 
характеризуется большей скоростью сходимости по сравнению с методом 
Якоби, поэтому в работе используется QL-метод. 
В основу QL-метода положено приведение исходной матрицы к 
треугольной. Приведение симметричной матрицы А
*
=А
*
1
к трехдиагональной 
форме А выполняют с помощью (n-2) преобразований. Этот метод подробно 
изложен в работе [4]. Поэтому ограничимся лишь описанием QL-метода. 
А=Q L (1.9) 
где Q- унитарная, а L - нижняя треугольная матрица и, следовательно, 
матрица В, равная 
В = L Q = Q
H
 A Q
(1.10) 
унитарно подобна матрице А. Таким образом, можно сформировать 
последовательность унитарноподобных матриц согласно соотношениям 
А
s
 = Q
s
 L
s
; А
s+1
 = L
s
Q
s
 = Q
H
s
А
s
Q
s,
, (1.11) 
которая имеет своим пределом нижнюю треугольную матрицу. Такой 
алгоритм носит название QL-метода. 
Литература 
1. Буриев Т. Расчет тонких плит на ЭВМ. ФАН, 1976. - 132с. 
2. Милчев Е, Данков Е. Численный метод исследования устойчивости 
тонких прямоугольных упругих пластин. // Строит-во. - 1989. - 36, N 7, с.12-
14 
3. Назиров Ш.А., Пискорский Л.Ф. Комплекс программ для расчета и 
оптимизации 
пластинчатых 
конструкций 
сложных 
конфигураций.//Алгоритмы. -Ташкент, 1995. -Вып.80. - с.41-54. 
4. Уилкинсон Дж.Х. Алгебраическая проблема собственных значений. 
М., Наука, 1970. 
 
 

---

90 
РАЗРАБОТКА НЕЛИНЕЙНОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ДЛЯ 
ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ПРОЦЕССА ПЕРЕНОСА И ДИФФУЗИИ 
АЭРОЗОЛЬНЫХ ЧАСТИЦ В АТМОСФЕРЕ 
Н.Равшанов
1
, Т.Шафиев
1 
1
Научно-инновационный центр информационно-коммуникационных 
технологий при ТУИТ 
 
Современная экономика стран все большей меры истощает силы 
природы, все шире используется эти силы, богатство природы для ускорения 
научно-технического прогресса. Конечно, не всегда это процессы проносят 
положительные результаты. Большими темпами строится заводы и фабрики, 
которыми являются основным фактором экологического проблемы - 
антропогенные источники. Именно антропогенные источники может нанести 
природе невосполнимый ущерб и основная угрозой для него является именно 
загрязнённая атмосфера. Поэтому, прогнозирования, мониторинг и оценка 
экологического состояния атмосферы, проектирования и размещения 
промышленных объектов с соблюдением санитарных норм является 
первоочередной задачей в проблеме охране окружающей среды. 
Изучения статических данных по экологии показывает, что ухудшение 
экологии в атмосфере промышленных зон возникает в связи с увеличением 
концентрации вредных веществ и загазованности атмосферы. Из этого 
следует что актуальность мониторинга и прогнозирования процесса 
распространения вредных аэрозольных частиц очевидна. 
За последние годы учёными разработаны математические инструменты 
для исследования, прогнозирования и мониторинга экологического 
состояния промышленных регионов, которые основывается на – 
математическую модель, численного алгоритма и программного средства для 
проведения вычислительных экспериментов на ЭВМ и получены 
значительные теоретические и прикладные результаты по выше указанной 
проблемой.
Исходя из вышесказанного, целью данной работы является разработка 
нелинейной математической модели для мониторинга и прогнозирования 
процесса переноса и диффузии вредных веществ в атмосфере промышленных 
регионов. Для исследования процесса переноса и диффузии аэрозольных 
частиц в атмосфере с учетом существенных параметров 
, ,
u v w  
составляющие скорости ветра по направлениям 
, ,
x y z
соответственно и 
скорости 
осаждения 
мелкодисперсных 
частиц 
g
w
рассмотрим 
математическую модель, описываемую на основе закона гидромеханики с 
помощью многомерного дифференциального уравнения в частных 
производных[1-4]: 
(
)
(
)
2
2
2
2
, ,
;
g
u
v
w w
x y z Q
t
x
y
z
x
y
z
z







 














+
+
+
−
+
=
+
+
+
















(1) 

---

91 
2
2
(
) ;
f
в
du
m
c
r
u
U
dt
 
=
−
(2) 
2
2
(
) ;
f
в
dv
m
c
r
v
U
dt
 
=
−
(3) 
3
4
(
)
3
g
п
в
f
в
g
п
dw
m
r
g
k
rw
F
dt



 
= −
−
−
+
(4) 
и соответствующим им начальным и граничным условиями: 
0
( , , ,0)
( , , ),
(0),
(0),
(0), при t
0,
g
g
x y z
x y z
u
u
v
v
w
w


=
=
=
=
=
(4) 
x
(
) при x=0,
(
) при x=L ,
b
b
x
x



 


 



−
=
−
=
−


(5) 
y
(
) при y=0,
(
) при y=L ,
b
b
y
y



  

  


−
=
−
=
−


(6) 
(
)
0
(
), при z
0,
, при
b
z
F
z
H
z
z





 



−
=
−
=
=
−
=

(7) 
где 
2
2
2
U
u
v
w
=
+
+
. 
Здесь m - масса частицы; r - радиус частицы; θ - количество 
распространяющегося вещества; 
0

- первичная концентрация вредных 
веществ в атмосфере; 

- коэффициент поглощения вредных веществ в 
атмосфере; 

- функция Дирака; g - ускорения свободного падания; 
f
c
- 
коэффициент лобового сопротивления частиц; 
f
k
- коэффициент формы тела 
для силы сопротивления; 
п
F
- подъёмная сила воздушного потока; 
п
 - 
плотность частиц; 
в
 - плотность воздуха; 
в
 -вязкость воздуха; t – время; 
, ,
x y z
- координаты; µ - коэффициент диффузии; 

- коэффициент 
взаимодействия с подстилающей поверхности; 
Q
- мощность источников; 
0
F
- количество аэрозольных частиц оторвавшихся от шероховатости земной 
поверхности, 

- коэффициент турбулентности, 

- коэффициент для 
проведения граничного условия к размерному виду, 
b
 - концентрация 
взвешенных веществ в соседних областях решаемых задач.
Так как, задача (1) - (7) описывается многомерным нелинейным 
дифференциальным 
уравнением 
в 
частных 
производных 
с 
соответствующими начальными и краевыми условиями, то получить ее 
решение в аналитической форме затруднительно. Для решения задачи 
используем неявную конечно-разностную схему по времени со вторым 
порядком точности соответственно по 
,
x y
и 
z
[1-3].
Для определения скоростей перемещения мелкодисперсных частиц в 
атмосфере получена система нелинейных уравнений (2)-(4), где учтены 
основные физико-механические свойства частиц (радиус, масса и плотность 
частицы) и скорость перемещения воздушной массы атмосферы, которые 
играют важную роль в процессе переноса и диффузии. 
На основе передоложенного математического модели и численного 
решения задачи разработана программный модули для оценки концентрация 

---

92 
выброшенных аэрозольных частиц в атмосфере в следствие переноса, и 
диффузия их в рассматриваем регионе.
Проведёнными численными расчётами установлено, что изменения 
концентрации аэрозолей в атмосфере существенно зависит от коэффициента 
поглощения частиц в атмосфере. Рост поглощения вредных веществ в 
атмосфере зависит от влажного состояния воздушной массы. 
Вычислительным экспериментом установлено что, распространения 
аэрозольных частиц в атмосфере зависит: во-первых, от скорости осаждения 
частиц; во-вторых, скорости воздушного потока; в-третьих, от физико-
механических свойств частиц (радиус, масса и плотность частицы).
При задании различных высот источника загрязнения было установлено, 
что при выбросах из высоких источников максимальные концентрации 
загрязнения фиксируются при опасных скоростях ветра (в пределах от 3 до 6 
м/с в зависимости от скорости истечения газов из устья выбросных труб). 
Опасная скорость ветра в сочетании с неустойчивой стратификацией и 
интенсивным переносом примесей приводит к максимальному росту 
значения 
концентрации вредных веществ в приземном слое атмосфере. В таких 
случаях основную роль в рассеивании вредных веществ в атмосфере играют 
горизонтальные потоки.
Литература 
1. Равшанов Н., Шафиев Т.Р, Таштемирова Н. Нелинейная 
математическая модель для мониторинга и прогнозирования процесса 
распространения аэрозольных частиц в атмосфере // Вестник ТУИТ. – 
Ташкент, 2019. – №2. – C. 132-14245-61. 
2. N Ravshanov and T Shafiev Nonlinear mathematical model for 
monitoring and predicting the process of transfer and diffusion of fine-dispersed 
aerosol particles in the atmosphere // IOP Conf. Series: Journal of Physics: Conf. 
Series 1260 (2019) 102013 doi:10.1088/1742-6596/1260/10/102013
3. Ravshanov N. et al. Mathematical software to study the harmful 
substances diffusion in the atmosphere // PONTE. – Florence, 2018. – No. 8/1. – 
P. 171-179. 
4. Равшанов Н. и др. Исследование существования и единственности 
решения задачи переноса и диффузии аэрозольных частиц в атмосфере // 
ПВПМ. –2017. – №1. – C. 54-67.