Moluch 114 c indd

Оценка нормы функционалов погрешности весовых

2
кубатурных формул в пространстве Соболева
Эшонкулов Хамза Илхомович, преподаватель; Жураев Зариф Шарипович, преподаватель Бухарский государственный университет (Узбекистан)
L^(m) (S )

N
_Внастоящей работе рассматривается наиболее распространенный вид кубатурной формулы [1]
_ p() f ()d  _C_ f ( ^{( )} )

(1)

2
_S  1

в пространстве
L^m (S )
на поверхности сферы, где S  n  мерная единичная сфера,

  (₁ ,₂ ,...,_n ),
n
  1 ,
p() — интегрируемая функция по сфере S , т. е. _ p()d  
S

^{N 2 2}  

и _C_ 
 1


n
Г ( ) 2
^p0,0 ^a
p_{k ,𝑙}  _ P()Y_{k ,𝑙} ()d ,
S

где
Y_{k ,𝑙} ()

• 
  сферическая гармоника порядка k вида 𝑙 . Здесь индекс 𝑙 получен в результате нумерации
  

сферических функций одного и того же порядка k и меняется в пределах 1  𝑙   (n, k ),
 (n, k)  (2k  n  2) ^{(k  n  3)!} — число линейно независимых сферических гармоник порядка k . Функции Y

()

(k  2)!k !
будем считать ортогональными на сфере S .
Функционал погрешности кубатурной формулы (1) имеет следующий вид:
N
k ,𝑙

𝑙 _N ()  p()_S
()  _C_ (   ^{( )} ) , (2)
 1

где  ( ) — дельта — функция Дирака, C_ и  ^{( )} — коэффициенты и узлы кубатурной формулы (1). Следующая теорема без доказательства приведена в работе Г. Н. Салихова [2].
^{Теорема 1. Норма функционала погрешности 𝑙 кубатурной формулы (1) над пространством Lm} ^S  ^равна

^{ }  ^N
N 2
_2 _¹2

^ _  n,k   ^{pk .𝑙  CYk ,𝑙  } ^

^{𝑙 Lm*} ^S  ^{ }


 ^
  1  ^ _,

_{N 2} ^  _{m m} ^
_ k 1 𝑙1 ^k ^{k  n  2} _

где
 _

_{ }
^p ^ ^Y ^  ^{d .}

^{pk ,𝑙} 

2
S


k ,𝑙

Доказательство. Известно [2], что если



^f ^  ^ _^Yk ^  ^,
k 0
^f ^  ^{ Lm} ^S  ^{, то для абсолютной и равномерной сходимости ряда}

^{где Yk} ^  ^{— сферические гармоники порядка k , достаточно выполнение условия 2m  n .}

2
Таким образом, функция сферическим гармоникам
_{ }  n,k 
^f ^  ^{ Lm}
может быть разложена в равномерно и абсолютно сходящийся ряд по

^f ^  ^ _^Yk ^  ^ _{ } ^{ak,𝑙Yk,𝑙} ^  ^{, (3)}

k 0
k 0
𝑙1

^{где Yk,𝑙} ^  ^{— сферические гармоники порядка k вида 𝑙 ;
ak,𝑙 } _^Yk,𝑙 ^  ^f ^  ^{d ; } ^{n, k}  ^{— число линейно независимых сферических гармоник:}
S

^{k !}^{n  2}^!
 ^{n, k}  ^{ k  n  3!}^{n  2k  2} ^.

Подставляя (3) в левую часть (1), находим

 𝑙
_N ^ ^{, f} ^  ^{ p} ^ ^_S




()  _C_
 1
N
_^{   } _ ^, _ ^Y ^  ^

k
k 1

S k k


^{ p() (),} _^Y ^  ^{  } _^C
_   ^{( )} _, _Y   

k 1
_  n,k 
 1
N
k 1
_  n,k 

^ _ ^p ^ _{ } ^{a Y}
^  ^{d  } _^C _^{   } _^, _{ } ^{a Y}
^  ^

_S k 1
𝑙1
k ,𝑙
k ,𝑙
 1


k 1
𝑙1
k ,𝑙
k ,𝑙

_  n,k 
^ _{ } ^{a p} ^ ^Y
_  n.k 
^  ^{d } _{ } ^a
_∑N C   _   ^ _,Y

^  ^

k 1
𝑙1
k ,𝑙
k ,𝑙
k 1
𝑙 1
k ,𝑙
 1
k ,𝑙

_  n,k  _{  N}
^  ^

^{   ak ,𝑙}  ^{pk ,𝑙  CYk ,𝑙 }
_ . (4)

k 1
𝑙1 
 1 
m _m

Если в правой части (4)
a_{k ,𝑙} умножить на
^{k 2} ^{k  n  2} ^{2 , а кубатурную сумму разделить на этот множитель}



N

^ 
и применить неравенство Коши, то получим

_  n,k  _m
^pk ,𝑙 ^{ C}^Yk ,𝑙 ^{ }

 𝑙
^{, f  } _{ } ^{a k 2} ^{k  n  2} ^{2  1 }



m
_

N
k 1
𝑙1
k ,𝑙
m
^{k 2} ^{k  n  2} ²
1

^{ }  ^N
_2 _2

_ 
¹  _ ^{p } _^CY


_ ^  _{ }

^ 
 (n,k )
^ _{ } ^{a2 km} ^{k  n  2}
_{m }2

_{ }  ^{ (n,k )} _
k ,𝑙
 1
k ,𝑙 _






 ^{k 1}


𝑙1
k ,𝑙
 _ k 1 𝑙1 ^km ^{k  n  2} _
m

^{ } 
_{ }
1

_ 
N _² _²

^{ }   ^{ p}
 _C_Y
_ ^  _{ }

_{ } n,k _
k ,𝑙
 1
k ,𝑙

^{ f Lm} ^S  ^ _{ 
} . (5)

2
_ k 1


𝑙1
^km ^{k  n  2}m _

_{ }
Из (5) следует
1

^{ }  ^N
_2 _2

_ 
^{ }    ^p
 _C_Y
_ ^  _{ }

_{ } n,k _
k ,𝑙
 1
k ,𝑙

^{𝑙 Lm} ^S 
^{ } 
_ . (6)

N 2
_ k 1
𝑙1
^km ^{k  n  2}m _

_{ }
Для того чтобы получить равенство (6) рассмотрим функцию
_  n,k 
^U ^  ^ _{ } ^{bk,𝑙Yk,𝑙} ^  ^{, (7)}

где
k 1


𝑙1

N
( )

^pk ,𝑙 ^{ C}^Yk ,𝑙 ^{ }

^bk ,𝑙
 ^1 . (8)

^m  m
k n  k  2

Так как для сферических функций имеет место оценка
 m ⁿ 1
^{max Yk} ^  ^{ C} ⁿ ^{k 2 f} ^  ^L ^S  ^,

2

m
то из определения (8) коэффициентов ряда (7) следует, что

2
^U ^  ^{ Lm} ^S  ^.
Вычислив погрешность кубатурной формулы (3) для этой функции, получим следующее равенство:

^ 

N


N  ^{ n,k  pk ,𝑙  CYk ,𝑙  }

 𝑙
^{,U    p} ^ ^
()  _C_
_{  } ^{ } _{,  }  1 _Y
^  ^{ }

N S
 1


k 1


𝑙1
^km ^{k  n  2}m
k ,𝑙



N

^ 
 ^{ n,k  pk ,𝑙  CYk ,𝑙  } _ N _


^ _{ } ^{ 1 } _^{ p} ^ ^{ (),Y} ^  ^{ }_^{C  } _^{   } _^,Y ^  ^_ ^

k 1


𝑙1
^km ^{k  n  2}m 
S k ,𝑙



N

_  n,k  



p



k ,𝑙

2
 1
k ,𝑙





N

p

_  n,k 

k ,𝑙
^ C Y

_ ^  _{  }

^{ }  _C Y

_ ^  _^



S
_{  }  1 _{ }
^p ^ ^Y
^  ^{d } _^{C Y}
_^{ } _ ^{ } _{ } ^{  1   U Lm} ^S  2 ^{. (9)}

k 1


𝑙1
^km ^{k  n  2}m _
k ,𝑙


 1
 k ,𝑙



k 1


𝑙1
^km ^{k  n  2}m 2

2

2
Сопоставляя (6) и (9) находим, что

𝑙 _N
^Lm ^S 
^{ U Lm} ^S  ^,

где
^U ^ 
является экстремальной функцией для кубатурной формулы (1), т. е.
^U ^ 

• 
  функция Рисса для
  

^{функционала погрешности 𝑙 N} ^  ^{, что и требовалось доказать.}