Moluch 114 c indd

Эквивалентность характеристической задачи для уравнения смешанного типа задачи Коши для симметрической гиперболической системы

Меражова Шахло Бердиевна, старший преподаватель
Бухарский государственный университет (Узбекистан)


В данной работе исследуется эквивалентность уравнения смешанного типа симметрической системы первого порядка.

Р
ассмотрим следующую задачу:
Характеристическая задача:

Lu  f
_u _AB  (x) 0  x  1
(1)

u



_ AC
  (x) 0  x  ¹ 2
(2)

(0)   (0)
(3)

_2 _2

 
 ^{1 1} 

Здесь, L дифференциальный оператор,
L  y _y2  _x2  a _x  b _x  c , A(0;0), B(1;0), C _{ 2} ;_16 . Задача

рассматривается в следующем ABC характеристическом треугольнике (рис. 1).

Рис. 1. Характеристический треугольник

Покажем эквивалентность этого уравнения симметрической системе первого порядка. Для решение задачи (1)-(2) вводим вспомогательную функцию:

v(x, y)  u(x, y)  y
 (x)  (x)
 ₁ (x)
2

x
 (x) , здесь  ₁ (x)  ₂

В итоге для функции v(x, y) получим следующую задачу:
yv_yy  v_xx  F  av_x  bv_y  cv
v(x, y) _AB  0
v(x, y) _AC  0
Здесь, F  f  L ^ y ^{ (x)  (x)}  (x)^

(4)

(5)

^ ^ ₁ ^{(x) }
^v  v(x, y)
1
Вводим следующие обозначения: ^v  v  yv
^ 2 x y
_^v₃  v_x  yv_y
Получим задачу Коши для следующий симметрической системе:

^v
v  v

 1 _ 2 3 _{ 0}
^ x 2

^  ^v2  cv  ^{ 1}

 ^a  ^{b } v ^

1 _ a _
^{b } v  F
(6)

^ x
^{1 } 4 y
² 2 y ^
₂  _  _{4 y}
² 2 y ^ 2

_    

^  ^v3  cv ^

1 _ a _

_b  _{v }  ₁
 ^a 
^{b } v  F

^ x
₁  _  _{4 y}
² 2 y ^ 2
^ 4 y
² 2 y ^ 2

_
_^{v1(x, 0)  0}
_v₂ (x, 0)  0
_^{v3 (x, 0)  0}
   

(7)

Запишем задачу в матричной форме:
A ^V  B ^V  DV  f
x y
здесь,
 

^ 0  ¹
_ 1 _


 _{2 2} 

^{1 0 0}
^ 0 0 0 ^
 1 a b ^{ } 1 a b ^
 ⁰ 

A  _ 0 -1 0_ ; B  ^ 0 y 0 ^
D  ^ c _
  _


_   


_ _;
f  ^ F ^ ;

 0 0 1  ^_{ 0 0 y}^_
^  ^{4 y
2 2 y}  
^{2 2 y} ^{  }

^{ }  F 
^{ } 1 a b ^{ } 1 a b ^{ }


_ c
_   

 ^

  ^

_y 

4
y ² 2 _{ }

 ^v1 V  _ v_{2 }
 ^v3 

• 
  неизвестная вектор-функция.
  

Полученная система гиперболического типа. Действительно по определению характеристик ([1])

A B
Edx Edy ^{ 0}
Значить, заданная задача эквивалентна задачи Коши для уравнений симметрической гиперболической системы. Верна следующая теорема:
Теорема. Для того чтобы задача для уравнений смешанно-составного типа имела решения, необходимо и доста- точно, чтобы имела решения задача Коши для уравнений симметрической системы.

Литература:

1. 
   Годунов, С. К. Уравнения математической физики. М. «Наука». 1971.—416 с.
   
2. 
   Владимиров, В. С. Уравнения математической физики. M.”Наука”1971.
   
3. 
   Тихонов, А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. M.”Наука”1972
   
4. 
   Салохиддинов, М. С. Уравнения математической физики (на узбекском языке). Т., «Узбекистон», 2002, 448 с.
   
5. 
   Т. Ж. Жураев, С. Абдиназаров. Уравнения математической физики (на узбекском языке). Т. 2003. 332 с.
   

О решении прикладных задач

Олимов Муродилла, кандидат физико-математических наук, доцент; Ирискулов Фарход Султонбоевич, ассистент;
Гойипов Умиджон Гуломжонович, ассистент
Наманганский инженерно-педагогический институт (Узбекистан)


Обучение решению прикладных задач математическими методами не является задачей математических курсов, а задачей курсов по специальности.
Ключевые слова: математические методы, уравнение Лапласа, математические модели, корректность, асимптотическое поведение, существование, единственность, детерминированные, математический экс- перимент, вычислительная техника.

Э
то положение касается одного из тех вопросов, по которому особенно часто критикуются как математи- ческие курсы в высших технических учебных заведениях, так и учебники по математике для них. Безусловно, про- стейшие конкретные примеры, иллюстрирующие приме- нение математических понятий для изучения реальных явлений, как-то: иллюстрация понятия производной ско- ростью движения материальной точки или линейной плот- ностью стержня, интеграла — работой силы, составление дифференциальных уравнений — выводом уравнения ра- диоактивного распада и т.п., весьма полезны. Более того, было бы ошибкой понимать девятое положение как ре- комендацию нецелесообразности обучения студентов ре- шению прикладных задач математиками. Это всегда дела-
лось и будет делаться, потому что это нужно и полезно.
Дело не в этом, а в том, что систематическое обучение студентов применению математических методов, изуча- емых ими в курсе математики, к решению прикладных задач обязательно должно осуществляться на профилиру- ющих кафедрах высшего технического или другого специ- ального (нематематического) учебного заведения. Это
должно являться непреложной обязанностью этих ка- федр. Только в этом случае у учащегося может создаться убежденность в полезности и необходимости знания и ис- пользования математических методов в его профессии [3, 4].
Если на профилирующих кафедрах этого не делается, то, возможно, это признак того, что для данной специаль- ности вовсе и не нужна математика в том объеме, в ко- тором она изучается в данном институте, а может быть, и признак неблагополучной постановки изучения в нем специальных дисциплин. Во всяком случае, существенно большая польза от изучения математики будет в том случае, если в процессе всего обучения в институте она будет достаточно широко использоваться при изложении специальных дисциплин, если на старших курсах будут чи- таться нужные для специальности дополнительные главы математики, не входящие в основной курс, в общем, если в вузе будет осуществлено непрерывное математическое образование. Увы, пока это далеко не всегда так.
Подчеркнем, что смысл девятого положения отнюдь не в разделе сфер влияния, а, наоборот, в эффективном со-

трудничестве в зонах соприкосновения математических и специальных кафедр.
К математическим курсам нередко предъявляются пре- тензии, что в них в недостаточном количестве выводятся дифференциальные уравнения, описывающие реальные явления. Этого рода критика нередко связана с присущей многим людям манерой, не делая того, что они сами обя- заны делать, убежденно говорить, что это должны делать другие, и критиковать их за то, что они делают это плохо. В этом вопросе следует четко отдать себе отчет в том, что математическое моделирование реальных явлений, т.е. составление математической модели такого явления,— это не задача математики.
Задача математики, как это отмечалось выше, состоит в изучении математической структуры, ее свойств и осо- бенностей. Большое удивление должно вызывать не то, что в математических курсах не строятся все математиче- ские модели, не выводятся все дифференциальные урав- нения, необходимые для данной специальности, а то, что это не делается в специальных курсах. Так, например, трудно найти общий физический курс (конечно, здесь не имеется в виду теоретическая физика), в котором бы вы- водилось уравнение Лапласа или уравнение теплопрово- дности для описания какого-либо явления. Еще труднее найти в этих курсах анализ различных граничных условий рассматриваемых в них уравнений (предполагается, по-видимому, что все это должны делать математики, од- нако, даже при их желании, они лишены возможности это сделать в рамках времени, отводимого на математические курсы).
К упрекам рассматриваемого здесь типа в адрес мате- матических курсов следует отнести еще упрек, состоящий и в том, что после изучения курса математики студенты не знают обычно нужного физического смысла какого-то члена в каком-то уравнении. Мне представляются по- добные упреки к общему курсу математики несправед- ливыми. Выяснение конкретного физического смысла члена уравнения — это также дело специальных дисци- плин, и не следует его перекладывать на плечи матема- тиков (подчеркнем еще раз, что речь идет об общем курсе математики, а не о специальных курсах, направленных на конкретную цель, обусловленную будущей профес- сией студента). Поскольку математика изучает матема- тические модели, то ее задачей при изучении уравнений могут являться вопросы, например, следующего вида: как влияет изменение данного члена уравнения на существо- вание решения, его единственность, его асимптотическое поведение, на корректность постановки задачи, на устой- чивость решения и т.д. и т.п. Научить подобным вещам, кстати, совсем не просто, а когда студент этим овладеет, он легко усвоит и конкретные факты, нужные ему по его специальности, которые должны быть изложены в специ- альных курсах.
Безусловно, что обучение умению составлять мате- матические модели реальных явлений является одной из первоочередных задач в процессе образования специа-
листов рассматриваемых нами профилей, и потому этому должно уделяться гораздо больше времени и внимания, чем это часто делается.
Особенно следует подчеркнуть важность и необходи- мость для многих специальностей умения составлять не только детерминированные математические модели но вероятностно-игровые, умения выбирать и использовав для этого статистические и опытные данные, обрабатывай их в случае необходимости с помощью современной вы- числительной техники.
Методика обучения математическому моделированию разработана в настоящее время совершенно недоста- точно. Однако, было бы неправильно возлагать основную работу в этом направлении на математиков; главную роль здесь должны играть специалисты (физики, химики, био- логи, экономисты и т.д.).
Не следует, конечно, думать, что математики не должны принимать участие в составлении математиче- ских моделей и обучать этому составлению. Совсем нао- борот. Это не только желательно, но, по-видимому, и не- обходимо: хотя математическое моделирование но входит в математику, но оно входит в деятельность математиков. Поэтому обучение ему студентов должно проводиться совместно специалистами в соответствующих областях и математиками, по делаться это должно в специальных курсах на высоком профессиональном уровне, с полным пониманием существа дела.
Правда, в настоящее время подготовка специалистов по математическому моделированию находится в руках математиков. Это, по-видимому, неизбежно, поскольку достаточно квалифицированно этот вопрос может быть решен лишь на основе хорошего математического об- разования. Однако, возможно, недалек тот день, когда нужную математическую подготовку будут иметь также студенты физических, биологических, технических, ме- дицинских, экономических и других специальностей, что позволит осуществлять подготовку нужных специалистов по математическому моделированию в соответствующих специальных высших учебных заведениях [2]. При этом следует еще раз подчеркнуть, что обучение математиче- скому моделированию должно входить как часть в специ- альное образование, а не проводиться за счет общего ма- тематического образования. Изучение математики нельзя подменять обучением составлению математических мо- делей. В математических курсах математическое модели- рование может носить лишь иллюстративный характер.
Особенно на вопросы математического моделиро- вания следует обратить внимание в тех областях, в ко- торых в настоящее время лишь создаются основные мате- матические модели для изучаемых объектов. Сюда следует отнести, например, экономику, биологию, медицину, пла- нирование, управление, социологию, лингвистику. Мате- матическое моделирование заслуживает особенного вни- мания, поскольку оно играет все большую роль во многих областях современной науки и техники, являясь мощным и экономически выгодным средством как для проведения

научных исследований, так и для выполнения самых раз- нообразных экспериментальных и конструкторских работ. Например, использование математических моделей при проектировании самолетов и кораблей и расчет их на ком- пьютер экономически во много раз более выгоднее соз- дания экспериментальных образцов.
Однако математическое моделирование и проведение с помощью построенной модели «математического экспе- римента» дают не только экономическую выгоду, а суще- ственно расширяют возможности эксперимента. Матема- тический эксперимент можно провести для изучения таких явлений, которые в естественных условиях протекают с нашей точки зрения столь медленно, что постановка ре- ального эксперимента теряет всякий смысл. Более того, математический эксперимент можно применить для ис- следования таких ситуаций, которые мы просто не в силах воспроизвести в реальных условиях. Так, например, с по- мощью математических экспериментов изучаются эво- люция Вселенной, эволюция жизни на земле или вообще эволюции каких-либо популяций (иногда даже вообража- емых!), т.е., в частности, явления, которые мы в целом но в силах наблюдать в пределах человеческой жизни [1].
Не нужно, впрочем, думать, что математический экс- перимент полностью заменяет реальный. Это не так прежде всего потому, что математический эксперимент имеет дело не с самим явлением, а лишь с его математи-
ческой моделью. Однако интересно и важно отметить, что математический эксперимент, как и всякий эксперимент, может привести к открытию новых реальных явлений, на- пример, физических.
Таким образом, математическое моделирование в со- четании с современной вычислительной техникой дает в руки ученых качественно новые методы исследования качественно новые методы управления процессами как естественными, так и порожденными деятельностью че- ловека. Его широкое использование, по существу, не- обходимо для успешного развития наук. Оно составляет неотъемлемую часть процесса накопления знаний чело- веческим обществом и приводит к необходимости подго- товки специалистов нового типа, владеющих не только своей специальностью, но и математикой, знающих ме- тоды математического моделирования и умеющих их творчески использовать. Поэтому в наши дни должно быть затрачено особое усилие на подготовку специали- стов, способных квалифицированно решать задачи мате- матического моделирования.
Вопрос о подготовке таких специалистов делается сейчас одним из самых важных и актуальных вопросов современ- ного образования. Правильная организация обучению со- ставления математических моделей возможна лишь при хорошей координации усилий в этом направлении матема- тиков и специалистов в соответствующих областях.

Литература:

1. 
   Самарский, А. А. Что такое вычислительной эксперимент? — Наука и жизнь, М:, 1979, № 2.
   
2. 
   Тихонов, А. Н. Костомаров Д. П. Рассказы о прикладной математике — М: Наука, 1979.
   
3. 
   М. Олимов, К. Исманова, П. Каримов, Ш. Исмоилов. Математическое пакеты прикладных программ, Таш- кент, «Тафаккур бўстони», 2015.
   
4. 
   М. Олимов, О. Жакбаров, Ф. Ирискулов. Алгоритм решения прикладных задач для обыкновенных диффе- ренциальных уравнений четвертого порядка с методом дифференциальной прогонки // Молодой ученый.— 2015.— № . 6.— с. 193–196.