Mnkning xarakteristikasi

Chiziqli juftlik tenglama parametrlarini eng kam kvadratlar usuli bilan baholash muammosi U quyidagi iborat: samarali belgisi haqiqiy qadriyatlar goyat kvadratlar yig'indisi qaysi parametrlari, bunday taxmin etish uchun - Y Men hisoblangan qadriyatlar minimal bo'ladi.
Rasmiy ravishda mnk mezoni. Siz shunga o'xshash yozishingiz mumkin:  .
Eng kam kvadrat usullarining tasnifi

1. 
   Kvadrat usuli.
   
2. 
   Maksimal rostgo'y usul (oddiy klassik chiziqli regressiya modeli uchun regressiya qoldiqlarining normalari kechiktirildi).
   
3. 
   Omni kam miqdordagi kichik maydonlarning umumiy usulida xatolar va heterossizlik holatida avtotransportda qo'llaniladi.
   
4. 
   To'siq qilingan eng kichik kvadratchalar usuli (qadimgi vizalar bilan vizaga ega bo'lgan Omnilar).
   

Biz mohiyatni tasvirlaymiz klassik eng kichik kvadrat usuli grafik jihatdan. Buning uchun biz bir ish jadvali (X i, y i, i \u003d 1; n) to'rtburchaklar koordinatalar tizimida (n I \u003d 1; n) korrelyatsiya maydoni deyiladi. Biz korrelyat sohasidagi nuqtalarga eng yaqin to'g'ri chiziqni tanlashga harakat qilamiz. Eng kam kvadrat usullariga ko'ra, tarmoq korrelyatsiya maydoni orasidagi vertikal masofaning yig'indisi va bu chiziq minimal bo'lishi uchun tanlanadi.

Ushbu vazifaning matematik yozuvi:  .
Y va x i \u003d 1 ning qadriyatlari bizga ma'lum, ular kuzatuv ma'lumotidir. S funktsiyalarida ular doimiydir. Ushbu xususiyatdagi o'zgaruvchilar kerakli parametr hisob-kitoblariga ega -,. 2 o'zgaruvchan funktsiyalarni topish uchun ushbu funktsiyaning har bir parametr uchun shaxsiy hiylalarini hisoblash va ularni nolni tenglashtirishi kerak, i.e.  .
Natijada, biz 2 normal tizim olamiz chiziqli tenglamalar: 
Hal qilish ushbu tizim, kerakli parametr hisoblarini toping:

ReDressiya tenglama parametrlarini hisoblashning to'g'riligi summalarni taqqoslash orqali (ehtimol, bir necha yaxlit hisob-kitoblar tufayli nomuvofiqlik) orqali sinovdan o'tkazilishi mumkin.
Parametr hisob-kitoblarini hisoblash uchun siz 1-jadvalni qurishingiz mumkin.
Regressiya koeffitsientining belgisi aloqa yo'nalishini ko'rsatadi (agar b\u003e 0 bo'lsa, line to'g'ridan-to'g'ri bo'lsa<0, то связь обратная). Величина b показывает на сколько единиц изменится в среднем признак-результат -y при изменении признака-фактора - х на 1 единицу своего измерения.
Rasmiy jihatdan parametrning qiymati - n n nolga teng bo'lgan y. Agar imzo ega bo'lmasa va nol qiymatga ega bo'lolmasa, unda yuqoridagi parametrni sharhlash va mantiqiy emas.
Belgilar orasidagi aloqa kuchayishini baholash Chiziqli juftlik korrelyatsiyasi koeffitsienti yordamida amalga oshiriladi - R X, Y. Uni formulada hisoblash mumkin:  . Bundan tashqari, chiziqli juftlash korrelyatsiyasining koeffitsienti B regressi koeffitsienti orqali aniqlanishi mumkin:  .
Juftlikning chiziqli koeffitsiyasining ruxsat etilgan qiymatlari -1 dan +1 gacha. Korrelyatsiya koeffitsienti belgisi aloqa yo'nalishini bildiradi. Agar r x, y\u003e 0 bo'lsa, ulanish to'g'ri; Agar r x, y<0, то связь обратная.
Agar ushbu koeffitsient birga yaqin bo'lsa, xususiyatlar orasidagi ulanish chiziqli chiziq sifatida talqin qilinishi mumkin. Agar uning moduli birlik darajasiga teng bo'lsa, Ê x, y § \u003d 1, belgilar o'rtasidagi bog'liqlik funktsional chiziqli. Agar X va Y belgilari chiziqli mustaqil bo'lsa, unda r x, y 0 ga yaqin.
R X, Y-ni hisoblash uchun 1-jadvalda ham foydalanishingiz mumkin.
Olingan rerorsiya tenglamasining sifatini baholash uchun nazariy qat'iylik koeffitsienti hisoblanadi - R 2 Yx:

,
d 2 - y ning tarmog'i; regressiya tenglamasi tomonidan tushuntirilgan;
e 2 - qoldiq (tushunarsiz rerressiya tenglama) y;
s 2 y umumiy (to'liq) dissertatsiyasining y.
Animallashtirish koeffitsient Yulduzning o'zgarishi (disrizsiyasi) nisbati (va shu sababli x) umumiy farqlashda (dispersiya) umumiy farqlashda (dispersiya) izohlanadi. R 2 YX qiymatni 0 dan 1. gacha bo'lgan aniqlashtirish koeffitsienti mos ravishda 1-R ning qiymati model va spzsifikatsiya xatolari ta'sirida.
Juftlashtirilgan chiziqli regressiya bilan r 2 yx \u003d r 2 yx.
Misol.
O'zgaruvchan qiymatlar bo'yicha eksperimental ma'lumotlar H. va W. Jadvalda olib bordi.

Ularning tekislanishi natijasida funktsiya olindi 
Ishlatish Kvadrat usuli, ushbu ma'lumotlar chiziqli qaramligini taxminiy y \u003d bob + b (Parametrlarni toping) lekin va b.). Ikkala satrning qaysi biri yaxshiroq ekanligini bilib oling (eng kam kvadratlar usulida) eksperimental ma'lumotlarni egallaydi. Rasm chizish.
Eng kam kvadrat usulining mohiyati (MNC).
Vazifa koeffitsientlarni topishdir chiziqli qaramlik, unda ikkita o'zgaruvchining funktsiyasi lekin va b.  Eng kichik qiymatni oladi. Ya'ni ma'lumotlar bilan lekin va b. Tajriba ma'lumotlarining og'ishlari summasi to'g'ridan-to'g'ri chiziqdan eng kichik bo'ladi. Bu eng kam kvadrat usulining butun mohiyati.
Shunday qilib, misol echim ikki o'zgaruvchining ekstreum funktsiyasini topish uchun pasayadi.
Koeffitsientlarni topish formulani ko'rsatadi.
Ikki noma'lum bo'lgan ikkita tenglama tizimi tuzilib, hal qilinadi. Biz o'zgaruvchan shaxsiy lideratsiyani topamiz lekin va b., bu lemekani nolga tenglashtiring.


Har qanday usul bilan tenglamalar tizimini hal qiling (masalan almashtirish usuli uchun yoki) va biz eng kam kvadratlar usuli (MNC) yordamida koeffitsientlarni topish uchun formulalarni olamiz.

Ma'lumotlar bilan lekin va B. funktsiya  Eng kichik qiymatni oladi. Ushbu faktning isboti beriladi.
Bu eng kam kvadratlarning butun usuli. Parametrni topish uchun formula a. tarkibida, va parametrini o'z ichiga oladi n. - eksperimental ma'lumotlar soni. Ushbu so'mlarning qadriyatlari alohida hisoblash uchun tavsiya etiladi. Koeffitsient b. Hisoblashdan keyin joylashgan a..
Manba misolini eslash vaqti keldi.
Qaror.
Bizning misolda N \u003d 5.. Kerakli koeffitsientlarning formulasiga kiritilgan hisoblash miqdorini hisoblash uchun jadvalni to'ldiring.

Jadvalning to'rtinchi chizig'idagi qiymatlar har bir raqam uchun 3-chi satr qiymatidagi qiymat qiymatlarini ko'paytirish orqali olinadi I..
Jadvalning beshinchi chizig'idagi qiymatlar har bir raqam uchun 2-torli qiymatlarni qurish orqali olinadi. I..
Stolning so'nggi ustunining qadriyatlari qiymatlar bo'yicha qiymatlar summaidir.
Koeffitsientlarni topish uchun eng kam kvadratlarning formulalaridan foydalanamiz lekin va b.. Biz stolning so'nggi ustunidan tegishli qiymatlarni almashtiramiz:

Shunday qilib, y \u003d 0.165x + 2.184 - kerakli yaqin chiziq.
Bu chiziqlarning qaysi birini bilish uchun qoladi y \u003d 0.165x + 2.184 yoki  Dastlabki ma'lumotlarni taxmin qilish yaxshiroq, ya'ni u eng kichik kvadratlar usuli bilan taxmin qilinadi.
Eng kam kvadrat usulining xatosini baholash.
Buning uchun ushbu satrlardagi manbalar ma'lumotlarining og'ishlari miqdorini hisoblashni talab qiladi.  va  Kichikroq qiymat kichik kvadrat metal usulida yaxshiroq bo'lgan chiziqqa mos keladigan chiziqqa mos keladi.

Chunki, keyin to'g'ri y \u003d 0.165x + 2.184 Yaxshiroq manbalarni taqdim etadi.
Eng kam kvadratlarning usulini grafik tasvirlash (MNC).
Jadvalda hamma narsa mukammal ko'rinadi. Qizil chiziq to'g'ri topildi y \u003d 0.165x + 2.184, ko'k chiziq  Pushti nuqta - bu manba ma'lumotlari.

Bu taxminlar uchun nima kerak?
Men shaxsan ma'lumotni, interporatsiya va ekstrapolyatsiya qilish muammolarini hal qilishda foydalanaman (dastlabki misolda kuzatilgan qiymatni topishni so'rashi mumkin) y. uchun x \u003d 3. yoki uchun x \u003d 6. MND usuliga muvofiq). Ammo keling, bu haqda saytning boshqa qismida ko'proq gaplashaylik.