Mm ivaat nosirov doc

i=1 i=1
Жадвалда берилган х_i ва у_i нинг кийматлари буйича тегишли йигиндини хисоблаб а нинг кийматини топамиз.
2. Энг кичик квадратлар усули.
Бу усулда жадвал холида берилган у_i билан ах_i эмперик формула фаркини квадратининг йигиндиси энг кам булиш шартидан фойдаланиб параметр а- ни топамиз , яъни
n Е=е ( у_i - ax_i )²
i=1
Кейинги тенгликда а буйича хосила оламиз ва уни нолга тенглаштирамиз.
n
dE / da = -2 е х_i ( у_i - ax_i ) = 0 ,
i=1
n n
е х_i у_i = a е х_i² .
i=1 i=1
n n
Бундан а=( åх_iу_i )/(е х_i²) хосил булади.
i=1 i=1
Тегишли хисоблашларни бажариб, параметр a нинг кийматини топамиз.
www.qmii.uz/e-lib
76 а нинг кийматини хисоблаш дастури чекли йигиндини хисоблагандек топилади.
Назорат саволлари

1. 
   Тажриба нукталири деб кандай нукталарга айтилади?
   
2. 
   Статистик богланиш нима?
   
3. 
   Функционал богланиш нима?
   
4. 
   Эмперик формула нима?
   
5. 
   Эмперик формулаларнинг кандай турларини биласиз?
   
6. 
   Эмперик функция нима?
   
7. 
   четланишлар деганда нимани тушинасиз?
   

16-маъруза. Мавзу: Тажриба натижаларини энг кичик квадрат-лар усули ёрдамида ишлаш. Регрессия чизиги. Корре­ляция коэффициенти. Стьюдент критерийси
Режа:

1. 
   Энг кичик квадратлар усули
   
2. 
   Регрессия чизиги
   
3. 
   Корреляция коэффициенти. Стьюдент критерийси.
   

Адабиётлар: 8, 11,12, 13, 19, 22, 23,24, 29, 38, 40, 41
Таянч иборалар: Тажриба натижалари, энг кичик квадратлар усули, регрессия чизиги, корреляция коэффициенти, Стъюдент критерийси, эмперик формула
1. Энг кичик квадратлар усули
Табиий фанларда ва иктисодиётда купинча эмперик, яъни кузатиш ёки тажрибалардан топилган формулалар билан иш куришга тугри келади. Мана шундай формулаларни топиш усулларидан бири энг кичик квадратлар усули хисобланади. Бу усулнинг маъноси куйидагича булади.
Айтайлик тажриба натижасида n та х₁ , х₂,.., x_n учун ва унга мос y₁,y₂ ,.., y_n кийматлар жадвал холида берилган булсин, яъни

х	х1	х2	... ...	х„-,	xn
у	y1	y2		yn-1	yn

Кандайдир чизикли богланишдаги у=f(х_i, а₁, а₂,...,а_n) (1) куринишдаги х ва у ни боглавчи (1) функцияни топиш талаб килинади. Бунда х=х_j кийматида то-пилган функция киймати жадвал холида берилган у_i (i=1,2,...,n) дан жуда кам фарк килсин.
www.qmii.uz/e-lib
77
Бу ерда а₁, а₂,....,а_n лар коэффициентлар булиб, уларнинг кийматларини топишингиз керак. Бу коэффициентлар шундай булиши керакки, жадвал (таж-риба) холида берилган у_i билан аналитик (эмперик) функция фарки йигинди-сини квадрати энг кам булсин, яъни
S (а1 , а₂ , а) = Z[y_i - f(x_i, а1 , а₂ , а_n)]² -> min (2)
_n i=1
(2) тенгликдан а₁, а₂,....,а_n лар буйича хусусий хосила олиб, уларни нольга тенглаштирамиз. Натижада n-номаълумли n-та чизикли тенгламалар системаси хосил булади.
n
dS/дa₁= 2E[y_i - f(x_i, а₁, а₂,..,а_n)]df(x_i, а₁, а₂,..,а_n) /дa₁ = 0, 8S/da₂ = 2 n [yi - f(x_i, а₁, а₂,..,а_n)] df(x_i, а₁, а₂,..,а_n) /da₂ = 0,

<

i=1 j
(3)
n dS/da_n= 2Z[yi - f(x_i, а₁, а₂,..,а_n)df(x_i, а₁, а₂,..,а_n) /da_n = 0.
i=1 ] j
Бу ерда номаълум канча булса, шунча чизикли тенглама хосил булади. Хо­сил булган (3) тенгламалар системаси тажриба йули билан топилган экспери­мента нукталарга энг яхши якинлашишнинг нормал тенгламалар системаси дейилади. Хар кайси аник холда (3) тенгламалар системасининг ечими мавжуд-лиги ва S(a₁, a₂,..,a_n) функциянинг минимумга эга булишлиги текширилади.
2. Регрессия чизиги
Изланаётган у=f(x_i,а₁,а₂,...,а_n) функция хар хил куринишда булиши мумкин. Айтайлик изланаётган функция у=ах+b куринишидаги тугри чизикдан иборат булсин. Бу холда S(a,b) ёки четланиш Е
Е = S(a,b) = i=1 [y_i - (axi + b)f -+ min (4)
^ ]
куринишда булади.
(4) формуладаги а ва b коэфициентларни топиш учун шу формуладан а ва b буйича хусусий хосила олиб, уларни нолга тенглаштирамиз. Натижада куйидаги икки ноъмалумли иккита чизикли нормал тенгламалар системаси хосил булади.
dS/da = 2 i =1 [y_i - (axi + b)](-х_i) = -2 E[y_i - (axi + b)]х_i = 0,
<
(5)
dS/db = 2 i=1 [y - (axi + b)(-1) = -2E [y - (axi + b) = 0.
^i ] ^i=1 i ]
www.qmii.uz/e-lib
78
(5) тенгламалар системасини ечиб, а ва b ноъмалум коэффициентларни топамиз.
Г n

<

i=1 [y ( b)]
n
I [y_i - (ax_i + b) = 0.
i=1 ]

<
i=1 x_i y_i i=1 i=1
n
Zy_i = aZx_i+ bn
i=1 i=1
(6)

(6) тенгламалар системасининг иккинчи тенгламасидан
n
b= (Z y_i - aZx_i )/ n ни топиб, биринчи тенгламасига куйсак

i=1

i=1
n n n n n
е x_i y_i = a е x_i² +( е y_i - a е x_i )/ n е x_i ,
i=1 i=1 i=1 i=1 i=1
n n n n n
n е x_i y_i =an е x_i² + е x_i е y_i - a ( е x_i )² ,
i=1 i=1 i=1 i=1 i=1
n n n n n
n е x_i y_i - е x_i е y_i = a[nе x_i² - ( е x_i )²] ,
i=1 i=1 i=1 i=1 i=1

n n n n n
a=( n е x_i y_i - е x_i е y_i )/( nе x_i² - ( е x_i )² ) ,
i=1 i=1 i=1 i=1 i=1

<

_{n n} (7)
b= 1/n е y_i - a/n е x_i
i=1 i=1
(7) формула билан топилган а ва b коэффициентлари регрессия коэффици-ентлари дейилади.
a ва b коэффициентлани топган холда у=f(x)=ax+b чизикли богланиш ёр-даимда аргументнинг хар кандай х=х* кийматида функциянинг такрибий кий-матини топиш мумкин.
Топилган а ва b коэффициентлардан фойдаланиб у=ах+b куринишида ёзилган чизик регрессия чизиги дейилади.
www.qmii.uz/e-lib

79
3. Корреляция коэффициенти. Стьюдент критерийси.
Регрессия коэффициентларини хисоблаш, качонки тажрибадан олинган нукталар регрессия чизигига якин жойлашганда маъкул булади.
Икки х ва у микдорларнинг бошланиш даражасини (сифатини) корреля­ция коэффициенти ёрдамида аникланади. Бу коэффициент

n n n

n n n n
2

формула ёрдамида хисобланади. Корреляция коэффициентининг киймати хар доимо -1<г <1 шартни каноатлантириши лозим.
Агар корреляция коэффициенти кийматининг модули канчалик бирга якин булса, у холда тажриба нукталар шунчалик регрессия чизигига якин жойлашган булади.
Агар корреляция коэффициенти нолга тенг булса, у холда х ва у микдорлар корреляцияланмаган дейилади, яъни х ва у микдорлар узаро чизикли боглик булмасдан, балки эгри чизикли богланишга эга булади. Юкорида айтганимиз-дек, корреляция коэффициентининг абсалют киймати бирдан ошмаслиги лозим. Корреляция коэффициенти кийматлари бирга якинлашган сари х ва у микдор­лар орасидаги богликлик кучи ортиб боради, яъни четланишлар камайиб бора-ди. Агар корреляция коэффициентининг киймати бирга тенг булса, у холда х ва у микдорлар узаро функционал богланишда булиб, унинг математик модели тугри чизикдан иборат булади.
Корреляция коэффициентининг нолдан канчалик фарк килиш ёки килмас-лигини аниклаш учун Стьюдент критерийсидан фойдаланилади. Стьюдент критерийси куйидаги
t-^ (9)
'2
формула билан хисобланади.
Стьюдент критерийси таксимот жадвалидаги киймати билан солиштирила-ди. Бунинг жадвалдаги киймати иккига тенг.
Агар хисобланган Стьюдент критерийсинининг киймати жадвалдаги кий-матидан катта булса, у холда корреляция коэффициенти нолдан етарлича катта булади.