Misollar. I. bularning gruppa ekanligini yuqorida keltirib o`tgan edik. II



Download 103,22 Kb.
Sana11.02.2022
Hajmi103,22 Kb.
#443505
Bog'liq
11-maruza


Qism gruppalar. Siklik gruppalar
Ta`rif. gruppa va bo`lsin. Agar gruppa bo`lsa, ning qism gruppasi deyiladi va kabi belgilanadi.
Misollar. I. bularning gruppa ekanligini yuqorida keltirib o`tgan edik.
II. bularning har biri gruppa bo`lishini yuqorida ko`rsatgan edik.
III. Juft butun sonlar to`plami qo`shish amaliga nisbatan butun sonlar to`plamiga qism gruppa bo`ladi. Ya`ni bo`ladi. Xuddi shunday uchun o`rinli bo`ldi.
IV. ixtiyoriy gruppa bo`lsin, va o`rinli bo`ladi. Bu qism gruppalar gruppaning trivial qism gruppalari deyiladi.
Teorema 1. gruppa va bo`lsin. qism gruppa bo`lishi uchun elementlar uchun bo`lishi zarur va yetarli.
Isbot. Zarurligi. H gruppa ekanligidan teoremadagi shartlar gruppa ta’rifidan kelib chiqadi.
Yetarliligi. Aytaylik H G ning bo’sh bo’lmagan qism to’plami va uchun bo’lsin. Xususan a=b bo’lganda
a*a-1=e H bo’ladi, ya’ni birlik element H da yotadi. b H uchun e*b-1=b-1 H, ya’ni H ning barcha elementlari teskarisi ham H da yotadi. Demak, H gruppa, ya’ni H G ning qism gruppasi.
Natija. gruppa va chekli qism to`plam bo`lsin: bo`lishi uchun uchun bo`lishi zarur va yetarli.
Ta`rif 2. gruppa bo`lsin.
to`plam gruppaning markazi deyiladi.
chunki . Agar - kommutativ (Abel) gruppa bo`lsa, bo`ladi.
Teorema 2. bo`ladi. Ya`ni ning qism gruppasi bo`ladi.
Isbot. Aytaylik a,b Z(G) bo’lsin. Bundan c G uchun bc=cb. Bundan cb-1=b-1c kelib chiqadi. Ya’ni b-1 Z(G). (ab-1)c=a(b-1c)=a(cb-1)=(ac)b-1=(ca)b-1=c(ab-1). Bundan ab-1 Z(G). Teorema 1 ga ko’ra Z(G) G ning qism gruppasi.
Teorema 3. G gruppa va {Hα| α I} lar G ning qism gruppalari bo’lsin. U holda ularning kesishmasi ham G ning qism gruppasi bo’ladi.
Isbot.Hα qism gruppa ekanligidan barcha α uchun e Hα. Bundan e Ոα Hα , ya’ni Ոα Hα bo’sh emas. Aytaylik, a,b Ոα Hα. U holda a,b Hα. Bundan ab-1 Hα. Bundan esa ab-1 Ոα Hα . Teorema 1 ga ko’ra Ոα Hα G ning qism gruppasi.
Ta’rif. G gruppa va a G bo’lsin. ={an|n Z} to’plam G ning a orqali hosil qilingan qism to’plami deyiladi.
Misol. (Z,+) gruppada <2>=2Z 2 orqali hosil qilingan qism gruppa.
Ta’rif.G gruppa va a G bo’lsin.
=G bo’lsa G siklik gruppa deyiladi, a esa bu gruppaning yasovchisi deyiladi.
Misol.1) G={1,-1,i,-i} gruppada G= yoki G=<-i> siklik gruppa.

  1. Z=<1> cheksiz siklik gruppa.

Teorema 4. Aytaylik, tartibi n ga teng chekli siklik gruppa bo’lsin. U holda ={e,a,a2,…,an-1} bo’ladi.
Isbot.
={ai|i Z}. chekli bo’lgani uchun shunday i,j Z (j>i) topiladiki ai=aj. Bundan aj-I=e va j-i musbat. Aytaylik m soni am=e tenglikni qanoatlantiruvchi eng kichik musbat butun son bo’lsin. Bundan S={e,a,a2,…,am-1} to’plam elementlari turlicha bo’ladi. Ravshanki, S . Aytaylik, ak bo’lsin. Qoldiqli bo’lishga ko’ra shunday butun q,r lar topiladiki, k=qm+r, 0≤rS. Bundan S. Demak S=. Bundan m=n.
Natija 1. Aytaylik
chekli siklik gruppa. U holda (a)=||.
Natija 2. G chekli siklik gruppa shunday a G topiladiki (a)=|G|.
Teorema 5. Siklik gruppaning barcha qism gruppalari ham siklik bo’ladi.
Isbot. Aytaylik H G=
siklik gruppaning qism gruppasi bo’lsin. Agar H={e} bo’lsa, u holda H= siklik. Faraz qilaylik {e} H. Bundan shunday b H topiladiki b e. b G bo’lgani uchun b=am tenglik qandaydir butun m da bajariladi. Bundan m 0, chunki b e. H ham gruppa bo’lgani uchun a-m=b-1 H. m yoki -m dan biri musbat. Natijada, H a ning musbat darajasini o’z ichiga oladi. Aytaylik n an H shartni qanoalantiruvchi eng kichik musbat son bo’lsin. Biz H= ekanligini ko’rsatishimiz kerak.
an H ekanligidan H. Aytaylik h H. Bundan qandaydir butun k da h=ak. Qoldiqli bo’lishga ko’ra shunday butun q,r lar topiladiki k=nq+r, 0≤rH. Agar r>0 bo’lsa, bu n ning eng kichikligiga zid. Demak r=0. Bundan ak=(an)q . Bundan H . Demak H= siklik.

Download 103,22 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish