misol sonlarining ga bo‘linishini tekshiring. Yechilishi

a = bq₁+r₁ 0 r₁ b;

b = r₁q₂+r₂ 0 r₂ r₁; r₁ = r₂q₃+r₃ 0 r₃ r₂; . . . . . . . . .

r_n-2 = r_n-1q_n+r_n , 0 r_n r_n-1; r_n-1 = r_nq_n+1 , r_n+1=0.

Hosil qilingan noldan farqli a va b sonlarning EKUBi r_n=D(a,b) dan iborat bo’ladi.Agar berilgan a,b,c,…,l sonlarning EKUB ni topish talab qilinsa ,Evklid algoritmi yordamida d₁=D(a,b), so’ngra d₂=D(d₁,c) va hokazo, va ma’lum (n-1) qadamdan keyin d_n-1=D(d_n-2,l) hosil bo’ladi.Natijada d_n-1=D(a,b,c,…,l) bo’ladi.Berilgan a va b sonlarning eng kichik umumiy karralisi (EKUK) ni K(a,b) orqali belgilaymiz. Misol: 2346 va 646 sonlarining EKUB va EKUK ni toping. Bu misolni tub ko’paytuvchilarga ajratish usuli bilan yechish mumkin ,ya’ni:

2346= 646= D(2346,646)= =31 (EKUB) K(2346,646)= =44574 (EKUK) hosil qilinadi.

Arifmetikaning asosiy teoremasi. Natural sonning kanonik yoyilmasi.

1 (bir) sondan farqli istalgan a є N son tub sonlar darajalarining ko’paytmasiga yoyiladi va bu yoyilma tub ko’paytuvchilar aniqligigacha yagona bo’ladi.

Isboti.ɎaєN (a ≠ 1) bo’lsin. a ≠ 1 natural son uchun 2ta holdan albatta 1 tasi boladi

1-hol.a tub son bo’lsa, a = P tub bo’lib, teorema isbotlangan bo’ladi:

2-hol. a murakkab natural son bo’lganda esa,uning bo’luvchilari mavjud bo’lib,

a = ∙ bo’ladi. O’z navbatida va ( ˂ , ˂ a) natural sonlar uchun ham 1-yoki 2- hollardan biri o’rinli bo’lganligi uchun = murakkab bo’lsa buning ham bo’luvchilari bor bo’ladi, va hokazo.

= . . . = ∙ . . .

= . . . = . . . bo’lib, natijada,

a= . . . = ∙ . . . yoyilmani hosil qilamiz. Bu yoyilma a є N sondan tub ko’paytuvchilariga kanonik yiyilmasi deyiladi, va bu yoyilma tub ko’poytuvchilar yoyilmasigacha yagona bo’ladi.

4-teorema. Har qanday a = , , . . . ∙ . . .∙ natural sondan istalgan boluvchisi = : . . . ko’rinishida bo’lib, tє [1;k] 1 ≤ t ≤ n

0 ≤ ≤ . bo’ladi.

Mustaqil ishlash uchun masalalar.

1–misol. ni 4 ga bo’lgandagi qoldiqni toping.

2 – misol. ( ) ayirmani 2 ga bo’lgandagi qoldiqni toping.

3-misol. 525 va 231 sonlarining EKUB va EKUKini toping.

4-misol. D (252, 120) =12 bo‘lsa, K(252, 120) ni toping.

5-misol. sonlarining EKUK ini toping.

6-misol. 60, 45, 90 sonlarining eng katta umumiy bo‘luvchisini toping.

7-misol. 168, 180 va 3024 sonlarining EKUB ini toping.

8-misol. sonining eng kichik tub bo‘luvchisini toping.

9-misol. sonning natural bo’luvchilari sonini va yig’indisini toping.