|
ОБЩЕЕ ПОСТАНОВКА И РЕШЕНИЕ ТРЕХМЕРНОЙ ЗАДАЧИ НАСЛЕДСТВЕННО-
СТАРЕЮЩИХ ТЕЛ МЕТОДОМ НАЧАЛЬНЫХ ФУНКЦИИ.
д.т.н., проф Тураев Х.Ш., Тўраев И.Х ассистент.
Общая задача о равновесии наследственно – стареющего тело, испытывающего малые
деформации опасывается в прямоугольной системе координат (x,y,z) cледующими
уравнениями [3]:
0
0
0
z
zу
zx
z
y
xz
yz
y
x
хz
ху
х
R
у
x
z
R
x
z
y
R
z
у
х
(1)
143
z
u
x
t
N
v
y
w
z
t
N
v
x
y
u
t
N
v
y
x
u
v
z
w
v
t
N
v
v
x
u
z
w
v
y
v
t
N
v
v
z
w
y
v
x
u
v
t
N
v
v
zz
zx
zy
yz
yx
xy
z
y
x
1
2
1
1
2
1
1
2
1
1
2
1
1
1
1
2
1
1
1
1
2
1
1
1
(2)
Здесь
zx
yz
xy
z
у
х
,
,
,
,
,
составляющие тензора напряжений;
w
u
,
,
составляющие вектора перемещений;
z
y
x
R
R
R
,
,
составляющие вектора интенсивности объемной силы;
v
коэффициент Пуассона;
,
1
*
R
t
E
t
N
(3)
,
,
1
*
d
f
E
t
R
t
E
f
R
l
(4)
,
t
R
резольвента ядра
.
.
,
X
H
t
K
Арутюняна [1]
,
,
1
,
t
C
E
t
К
(5)
E
модуль упругости материала;
,
t
C
мера ползучести.
Для решения в общей постановке пространственной задач теории вязкоупругости
применяется смещенный метод.
За основные неизвестные принимается перемещения u,
ϑ
, w и напряжения σ
z
, τ
xz
, τ
yz
.
В целях упрощения, в место перемещений u,
ϑ
, w рассмотрим пропорциональные им
величины.
t
w
t
N
t
W
t
t
N
t
V
t
u
t
N
t
U
,
,
(6)
Для напряжений также в ведем обозначения:
t
Z
t
t
Y
t
X
t
z
yz
xz
,
,
(7)
Исключая из уравнения (1) и (2) напряжения σ
x
, σ
y
, σ
xy
, = τ
yx
получим систему шесть
основных дифференциальных уравнений смешанного метода. Эти уравнения с учетом (6) и (7)
имеют следующий вид:
t
R
y
t
z
v
v
x
t
U
v
y
t
U
y
x
t
V
v
v
z
t
Õ
t
R
y
t
Z
v
v
x
t
V
v
y
t
V
y
x
t
V
v
v
z
t
Y
t
R
y
t
Y
x
t
X
z
t
Z
t
Z
v
v
y
t
V
x
t
U
v
v
z
t
W
t
Ó
y
t
W
z
t
V
t
X
x
t
W
z
t
U
y
y
z
1
1
2
1
1
1
1
2
1
1
,
,
1
2
2
1
1
,
,
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
(8)
144
Напряжений
t
t
t
xу
y
x
,
,
определяются из следующих зависимостей:
x
t
V
ó
t
U
t
t
x
t
U
z
t
W
v
y
t
V
v
v
t
z
t
W
y
t
V
v
x
t
U
v
v
t
yx
xy
x
x
,
1
2
1
2
,
1
2
1
2
(9)
Для решение уравнений наследственно-стареющих тех методом начальных функций
отметим в теле два плоскости, начальную
0
z
и параллельную ей
const
z
. Часть тела,
заключенная между этими плоскостями, представляет собой слой произвольно фиксированной
толщины
.
const
z
Отметим что
Z
Y
X
W
V
U
,
,
,
,
,
определяют неизвестные перемещения и напряжения в
произвольной точке с координатами (х,у) фиксированной плоскости
.
const
z
А величины
0
0
0
0
,
,
,
,
,
Z
Y
X
W
V
U
относятся к начальной координатой плоскости
,
0
z
будем их в
дальнейшим называет начальными геометрическими и статическими функциями.
Общее решение уравнений (8) ищем в виде рядов Маклорена по переменной z.
Примем следующее обозначения:
,
F
r
a
z
y
x
F
m
k
m
x
m
l
k
(10)
Которое
соответствует
символическому
методу
позволяющий
операции
дифференцирования и линейных преобразований исходных уравнений производить методом
линейной алгебры.
Так, уравнений (8) принятых обозначенниях принимают вид:
x
y
R
aZ
v
v
U
a
v
U
V
a
v
v
rX
R
Z
v
v
V
v
V
a
U
a
v
v
rY
z
v
v
V
aU
v
v
rW
Y
W
rV
X
aW
rU
1
1
2
1
1
,
1
1
2
1
1
,
1
2
2
1
1
,
,
2
2
2
2
(11)
Умножая равенства (11) на r исключая члены содержащие
rZ
rY
rX
rW
rV
rU
,
,
,
,
,
получим общие формулы для вторых производных по
z
от неизвестных функций, и т.д.,
производные более высоких порядков получаются аналогичным образом.
Формулы (11) справедливы при любых значениях независимых переменных х,у,z. Полагая
0
z
получим формулқ для частных производные:
0
0
0
0
0
0
0
0
0
....
......
..........
..........
..........
..........
....
...
X
L
V
L
U
L
X
X
L
V
L
U
L
V
X
L
V
L
U
L
U
XX
XV
XU
VX
VV
VU
UX
UV
UU
(12)
где
XX
UV
UU
L
L
L
,
,
линейные интегро-дифференциальные операторы относящиеся к
начальным функциям
,
,
,
),
,
,
(
,
,
,
,
,
,
0
0
0
y
x
t
X
y
x
t
y
x
t
V
y
x
t
U
y
x
t
Z
y
x
t
Y
,
,
,
,
,
,
0
0
зависящие
от переменной
z
и содержащие частные производные по переменным х, у, начальной
плоскости
].
2
[
0
z
Соотношения (12) дает общее решение рассматриваемой пространственной задачи теории
вязкоупругости.
Литература:
1. Арутюнян Н.Х. Некоторые вопросы теории ползучести. Гост изд-во, тех.-теоретич.лит.,
М.1952.
145
2. Власов В.З. Метод начальных функций в задачах теории упругости. Изд. АН СССР,
Отд.тех.наук. №7,1955.
3. Тураев Х.Ш. Исследование напряженно-деформированоого состояния неоднородного
вязкоупругого основания. Проблемы механика грунтов и инженерного мерлотовендения.
Москва, Стройиздат, 1990.
UDK 531:621-752:681
Do'stlaringiz bilan baham: |
