148
Здесь постоянная
ϰ и функция
)
(
x
– лагранжевы множители, вещественная вспомогательная
функция
)
(
x
g
введена для преобразования геометрического ограничения
A
x
A
)
(
в
ограничение типа равенства. Ограничения на минимум площади поперечного сечения в задачах
оптимального проектирования были впервые рассмотрены Тейлором в 1968 г.
Итак, принцип Рэлея и введение множителей Лагранжа позволяют варьировать
*
по
у(х), А(х ) и
)
(
x
g
независимо, а соответствующие уравнения Эйлера–Лагранжа с учетом
равенства (2) и уже упоминавшиется ограничения составляют полный набор необходимых
условий оптимальности. Вместе с естественными краевыми
условиями и условиями на
внутренних опорах, условиями типа скачка во внутренних точках х=х
i
расположения
сосредоточенных масс и условиями непрерывности на других участках конструкции основные
уравнения можно представить в виде отношение Рэлея для λ (2); (4 а)
дифференциальное уравнение задачи из табл.
L
х
0
; (4 б)
)]
(
[
)
(
)]
(
[
)
(
1
1
x
y
f
x
A
brp
x
y
e
x
pcEA
r
p
ϰ,
u
x
х
; (4 в)
,
)
(
A
x
A
u
x
х
,
)
(
A
x
A
c
x
х
; (4 г)
L
V
dx
x
A
0
)
(
(4 д)
Здесь после исключения
)
(
x
и
)
(
x
g
введены объединения подынтервалов
х
с
и
u
x
на
которых соответственно А (х) выходит на ограничение и не выходит на него. Подынтервалы
х
с
и
u
x
в совокупности покрывают весь интервал
1
0
х
.
Кроме того лагранжев множитель
ϰ определен заново после деления старого ϰ на
знаменатель в выражении для λ.
Уравнение (4 в) называют условием оптимальности. Важно , что область его применения
ограничена объединениями заранее не известных подынтервалов
u
x
, в пределах которых
переменная проектирования А(х) не выходит на ограничение.
Конкретный вид условия
оптимальности в конкретной задаче легко определить при помощи табл. Обратим внимание на
то, что второе слагаемое в левой части условия оптимальности что второе слагаемое в левой
части условия оптимальности отсутствует в задачах о дивергенции и классической потере
устойчивости, для которых
0
b
. Первое слагаемое условия оптимальности можно
интерпретировать как среднюю плотность энергии деформации в тех частях конструкции,
которые изменяются при варьировании. Установлено, что постянство этой плотности энергии
является общим принципом для задач оптимизации конструкций без учета геометрических
ограничений при статических нагрузках.
Вмести с граничными и другими вышеупомянутыми условиями уравнения (4а)–(4д)
составляют нелинейную обыкновенную интегро-дифференциальную
задачу на собственные
значения, в который подлежат определению оптимальное собственное число λ, оптимальное
распределение материала конструкции А(х) (что включает нахождение подынтервалов
u
x
и
х
с
),
соответствующая основная мода у (х) и множитель Лагранжа
ϰ.
Нелинейность системы уравнений и ее замкнутость обусловлены постоянными
р и г,
характеризующими поперечное сечение. Случай р=г=1, очевидно, наиболее прост для
исследования, так как такие задачи линейны по переменной проектирования А(х) не входящей
при этих условиях в (4 в). Хотя последнее уравнение и остается нелинейным по смещению,
часто можно получить аналитическое решение задачи при р=г=1, см ., например, Прагер и
Тейлор. В
задачах о потере устойчивости, где b=0 и слагаемые, содержащие г, исключаются,
аналитические решения были получены при р=2, как например в [19]. В задачах оптимизации
колебаний при значениях р не равных единице, в силу взаимосвязанности и нелинейности
основных уравнений обычно возможны только численные решения.
На 1 и 2 приведены результаты решения задач последнего типа.
Другой двойственной
постановкой задачи оптимального проектирования является следующая:
Считая поперечное сечение А(х) конструкции переменной проектирования, а объем
конструкции
L
dx
x
A
V
0
)
(
функцией цели, определить такой проект, у которого минимально
V
149
при ограничениях на основное собственное число λ и геометрическом ограничении
A
x
A
)
(
на минимум А(х), где
A
– задано. Как и разнее, длина и материал конструкции, форма
поперечного сечения и граничные условия
предполагаются заданными, а собственное число
считается простым.
Система необходимо условий оптимальности в этой постановке задачи легко выводится
при варьировании функционала
L
L
i
i
i
r
L
р
L
dx
A
x
A
x
g
x
x
y
f
Q
dx
x
y
f
x
bpA
dx
x
y
е
х
сЕА
dx
x
A
V
0
2
0
0
0
]
)
(
)
(
)[
(
)]
(
[
)]
(
[
)
(
)]
(
[
)
(
)
(
(5)
Где к функционалу
V при помощи лагранжевых
множителей
и
(х) присоединены
отношение Рэлея и геометрическое ограничение соответственно.
В результате вариационного анализа находим что данная задача оптимального
проектирования также описывается уравнениями (4 а)-(4 д) с единственным исключением :
лагранжев множитель в (4 в) заменяется на 1/
где
определено заново тем же способом, что
и ранее. В новой постановке неизвестными
подлежащими определению, являются
минимальный объем
V оптимальное распределение А(х) материала конструкции, основная
мода у (х) и множитель Лагранжа
.
Благодаря сходству основных уравнений, двойственные задачи оптимизации, вообще
говоря, эквивалентны в том смысле, что решение задачи во второй постановке является в то же
анализа, проведенного в который явился обобщением работы Браха
следует что среди всех
рассматриваемых здесь задач эквивалентность может быть утеряна только в задачах
оптимизации при колебаниях для р= г, q(x)=0 и Q
i
=0.
Тейлор первым установил двойственность двух различных постановок задач
оптимизации конструкций: этому вопросу посвящены недавние работы Ваврика и Уорнера и
Сейраняна.
Литература
1. Варга Д.Ж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными
уравнениями. –М.: Наука 1977 212 с.
2. Бюттнер О., Хампе Э. Сооружение Несущая конструкция –Несущая структура . –М.:
Строиздат 1983 337 с.
Do'stlaringiz bilan baham: 
