Министерства высшего и среднего специального

 
 
 

---

52 
 
 
1-misol. 
Quyidagi nochiziqli tenglamalar sistemasi berilgan:








1
7
,
0
)
1
(
2
2
2
1
2
2
2
1
x
x
x
x
x
tg
Bu tenglamalar sistemasini oddiy iteratsiya usulining Zeydel 
takomillashgan varianti bilan 

= 0.001 va

= 0.0001 aniqliklarda yechish 
talab qilinadi. 
Yechish.
Berilgan sistemani standart shaklda yozib olamiz:
 












0
1
7
,
0
)
,
(
0
)
1
(
)
,
(
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
1
2
1
1
x
x
x
x
f
x
x
x
tg
x
x
f
 
Bu funksiyalarning aniqlanish sohalari: 
D
f1 
= {-∞ < x
1
< ∞; -∞ < x
2
< ∞};
D
f2 
= {-1 ≤ x
1
≤ 1; -1,195 ≤ x
2
≤ 1,195}; 
Bu funksiyalarning qiymatlar sohalari: 
D
o
= {-1 ≤ x
1
≤ 1; -1,195 ≤ x
2
≤ 1,195}; 
Вu funksiyalarning grafiklarini Mathcad dasturida chizamiz (14-rasm): 

---

53 
14-rasm. 1-misolda berilgan tenglamalar sistemasi ildizining boshlang‘ich 
yaqinlashishini grafik usul bilan Mathcad dasturi yordamida aniqlash. 
Grafiklardan ko‘rinadiki, misolda berilgan sistema 4 ta haqiqiy 
yechimga ega: 
D
I
= {0 < 
x
1
< 0,1; -1,3 < 
x
2
< -1,1}; 
D
II
= {0,7 < 
x
1
< 0,9; -0,6 < 
x
2
< -0,8}; 
D
III
= {-0,1 < 
x
1
< 0; 1,1 < 
x
2
< 1,3}; 
D
IV
= {-0,9 < 
x
1
< -0,7; 0,6 < 
x
2
< 0,8}; 
Sistemaning barcha yechimlari uchun iteratsion jarayonning 
yaqinlashish formulasini chiqaramiz. 
I-yechim uchun: 














)
1
(
)
1
7
,
0
(
3
1
2
1
2
2
2
2
1
1
1
x
x
tg
x
x
x
x
x
Xususiy hosilalarni aniqlaymiz: 
;
)
1
(
2
x
x
;
)
1
(
2
x
x
2
1
1
2
2
2
1
2
1
2












x
x
tg
x
x
tg



---

54 
Birinchi yechim uchun boshlang‘ich yaqinlashishni aniqlanish 
sohasidan unga yaqin bo‘lgan 
х
1
=0,1; 
х
2
=-1,2 nuqtani olib, yaqinlashish 
shartini tekshiramiz: 
1;
59
,
0
)
1
)
2
,
1
(
1
,
0
(
2
1
,
0
)
1
)
2
,
1
(
1
,
0
(
2
2
,
1
)
1
(
2
x
)
1
(
2
x
x
x
2
1
1
2
1
2
2
2
1
2


























tg
tg
x
x
tg
x
x
tg


Ko‘rinadiki, yaqinlashish sharti bajarilayapti. Demak, hosil qilingan 
ekvivalent sistemadan birinchi yechimni aniqlashtirish uchun foydalanish 
mumkin. 
II yechim uchun: 











)
1
(
)
7
,
0
1
2
1
2
2
2
1
x
x
tg
x
x
x
Xususiy hosilalarni aniqlaymiz: 
;
)
1
(
2
x
x
;
)
1
(
2
x
x
;
7
,
0
1
x
0,7
x
;
0
x
2
1
1
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
1
1
1






















x
x
tg
x
x
tg
x




Ikkinchi yechim uchun boshlang‘ich yaqinlashishni aniqlanish 
sohasidan unga yaqin bo‘lgan 
х
1
=0,7; 
х
2
=-0,7 nuqtani olib, yaqinlashish 
shartini tekshiramiz: 
1;
61
,
0
)
7
,
0
(
7
,
0
1
7
,
0
7
,
0
7
,
0
1
x
0,7
0
x
x
2
2
2
2
2
1
1
1


















x


1;
94
,
0
)
1
)
7
,
0
(
7
,
0
(
2
7
,
0
)
1
)
7
,
0
(
7
,
0
(
2
7
,
0
)
1
(
2
x
)
1
(
2
x
x
x
2
1
1
2
1
2
2
2
1
2


























tg
tg
x
x
tg
x
x
tg


Ko‘rinadiki, yaqinlashish sharti bajarilayapti. Demak, hosil qilingan 
ekvivalent sistemadan ikkinchi yechimni aniqlashtirish uchun foydalanish 
mumkin. 

---

55 
III yechim uchun: 












)
1
(
)
1
7
,
0
(
3
1
2
1
2
2
2
2
1
1
1
x
x
tg
x
x
x
x
x
Xususiy hosilalarni aniqlaymiz: 
;
)
1
(
2
x
x
;
)
1
(
2
x
x
2
1
1
2
2
2
1
2
1
2










x
x
tg
x
x
tg


Uchinchi yechim uchun boshlang‘ich yaqinlashishni aniqlanish 
sohasidan unga yaqin bo‘lgan 
х
1
=-0,1; 
х
2
=1,2 nuqtani olib, yaqinlashish 
shartini tekshiramiz: 
1;
59
,
0
)
1
)
2
,
1
(
1
,
0
(
2
1
,
0
)
1
)
2
,
1
(
1
,
0
(
2
2
,
1
)
1
(
2
x
)
1
(
2
x
x
x
2
1
1
2
1
2
2
2
1
2


























tg
tg
x
x
tg
x
x
tg


Ko‘rinadiki, yaqinlashish sharti bajarilayapti. Demak, hosil qilingan 
ekvivalent sistemadan uchinchi yechimni aniqlashtirish uchun foydalanish 
mumkin. 
IV yechim uchun: 












)
1
(
)
1
7
,
0
(
3
1
2
1
2
2
2
2
1
1
1
x
x
tg
x
x
x
x
x
Xususiy hosilalarni aniqlaymiz: 
;
)
1
(
2
x
x
;
)
1
(
2
x
x
2
1
1
2
2
2
1
2
1
2










x
x
tg
x
x
tg


To‘rtinchi yechim uchun boshlang‘ich yaqinlashishni aniqlanish 
sohasidan unga yaqin bo‘lgan 
х
1
=-0,7; 
х
2
=0,7 nuqtani olib, yaqinlashish 
shartini tekshiramiz: 
1;
94
,
0
)
1
)
7
,
0
(
7
,
0
(
2
7
,
0
)
1
)
7
,
0
(
7
,
0
(
2
7
,
0
)
1
(
2
x
)
1
(
2
x
x
x
2
1
1
2
1
2
2
2
1
2


























tg
tg
x
x
tg
x
x
tg


Ko‘rinadiki, yaqinlashish sharti bajarilayapti. Demak, hosil qilingan 
ekvivalent sistemadan to‘rtinchi yechimni aniqlashtirish uchun foydalanish 

---

56 
mumkin. Bu sistemalarning MathCAD dasturi yordamidagi yechimlari 
quyidagilar: 
Bu natijalar shuni ko‘rsatadiki, dastur to‘g‘ri ishlayapti va nochiziqli 
tenglamalar sistemasining yechimlari to‘g‘ri topilgan. Aniqlikni oshirish 
bilan iteratsiyalar soni ham oshib boradi. Agar boshlang‘ich yaqinlashish 
aniq yechimga yaqinroq olinsa yaqinlashish tezligi ortadi va, tabiiyki, 
iteratsiyalar soni ham kamayadi. 
 
2-misol.
Quyidagi tenglamalar sistemasini Mathcad dasturi yordamida 
yeching: 







.
44
,
13
2
2
y
x
y
x
Yechish.
Dastur matni quyidagicha: 

---

57 
Mustaqil ish topshiriqlari 
 
Quyidagi jadval variantlari uchun ushbu topshiriqlarni bajaring: 
1. Grafik usulda tenglamalar sistemaning ildizlarini ajrating va ildizlar 
uchun boshlang‘ich yaqinlashishni tanlang. 
2. Tenglamalar sistemasini yechishni Nyuton usuli bilan 0.0001 aniqlikda 
bajaring. 
3. Tenglamalar sistemasini yechishni oddiy iteratsiyalar usuli bilan 0.0001 
aniqlik bilan toping, bunda 

(
x
) funksiyani tanlashda yaqinlashishning 
yetarli shartini tekshiring. 
4. Yechish usullari natijalarini taqqoslan (aniqlik, iteratsiyalar soni). 
5. Barcha hisoblashlarni matematik paketlar (Maple, Mathcad, Matlab) 
yordamida aniqlashtiring. Olingan natijalarni Pascal va C++ dasturlari 
natijalari bilan ham taqqoslash tavsiya etiladi. 

---

58 
Variant 
№ 
Sistema 
Variant 
№ 
Sistema 
1 










1
1
,
0
1
,
1
y
x
sin
2
2
y
x
x
26 









2
2
2
2
5
,
0
3
,
0
y
x
x
xy
tg
2 










1
2
,
0
5
,
1
sin
2
2
y
x
x
y
x
27 










1
2
6
,
0
4
,
0
2
2
2
y
x
x
xy
tg
3 
 







1
2
8
,
0
2
2
2
y
x
x
xy
tg
28 












4
3
1
sin
2
2
y
x
xy
y
x
4 










1
2
2
,
0
2
2
2
y
x
x
xy
tg
29 










1
0
5
,
1
sin
2
2
y
x
x
y
x
5 
 







2
2
2
1
2
7
,
0
x
xy
tg
y
x
30 










5
,
0
1
cos
1
2
6
,
0
2
2
x
y
y
x
6 
 











0
ln
5
,
7
0
2
2
x
y
xy
tg
x
31 










1
0
6
,
1
sin
2
2
y
x
x
y
x
7 
 








0
1
,
1
cos
0
2
16
,
0
2
x
y
y
x
y
x
32 










1
5
,
0
sin
2
5
,
1
cos
y
x
y
x
8 










2
cos
2
2
,
1
1
sin
y
x
y
x
33 













5
,
0
2
cos
2
,
1
2
sin
x
y
x
y
9 










5
,
1
2
sin
1
2
sin
y
x
x
y
34 










1
1
,
0
2
,
1
sin
2
2
y
x
x
y
x
10 










3
cos
5
,
0
1
cos
x
y
x
y
35 










1
2
9
,
0
3
,
0
2
2
2
y
x
x
xy
tg
11 












0
,
0
,
1
2
6
,
0
4
,
0
2
2
2
y
x
y
x
x
xy
tg
36 












0
,
0
;
1
0
6
,
1
sin
2
2
y
x
y
x
x
y
x
12 










1
2
1
,
0
2
2
2
y
x
x
xy
tg
37 










1
2
,
0
2
,
1
sin
2
2
y
x
x
y
x
13 










1
2
9
,
0
3
,
0
2
2
2
y
x
x
xy
tg
38 










1
0
3
,
1
sin
2
2
y
x
x
y
x
14 







1
2
8
,
0
2
2
2
y
x
x
tgxy
39 










1
1
,
0
5
,
1
sin
2
2
y
x
x
y
x

---

59 
15 







1
2
7
,
0
2
2
2
y
x
x
tgxy
40 










1
1
,
0
2
,
1
sin
2
2
y
x
x
y
x
16 










1
2
6
,
0
2
,
0
2
2
2
y
x
x
xy
tg
41 










1
1
,
0
5
,
1
sin
2
2
y
x
x
y
x
17 










1
2
8
,
0
4
,
0
2
2
2
y
x
x
xy
tg
42 










1
1
,
0
2
,
1
sin
2
2
y
x
x
y
x
18 










1
2
5
,
0
1
,
0
2
2
2
y
x
x
xy
tg
43 










1
1
,
0
1
,
1
sin
2
2
y
x
x
y
x
19 










1
2
0
2
2
y
x
xy
y
x
tg
44 












4
3
1
sin
2
2
y
x
xy
y
x
20 










1
2
2
,
0
2
2
2
y
x
x
xy
tg
45 










1
0
5
,
1
sin
2
2
y
x
x
y
x
21 







1
2
5
,
0
2
2
2
y
x
x
tgxy
46 










1
2
,
0
2
,
1
sin
2
2
y
x
x
y
x
22 









2
2
2
2
7
,
0
1
,
0
y
x
x
xy
tg
47 










1
2
,
0
5
,
1
sin
2
2
y
x
x
y
x
23 







1
2
6
,
0
2
2
2
y
x
x
tgxy
48 










1
2
,
0
5
,
1
sin
2
2
y
x
x
y
x
24 










1
2
5
,
0
3
,
0
2
2
2
y
x
x
xy
tg
49 










1
1
,
0
1
,
1
sin
2
2
y
x
x
y
x
25 








0
4
,
1
cos
0
6
,
1
sin
y
x
x
x
y
50 












0
1
0
4
,
1
1
,
1
sin
2
x
y
x
y
x
Sinov savollari 
1.
Nyuton va oddiy iteratsiyalar usullarining qo‘llanilish shartlarini ayting. 
2.
Iteratsion jarayonlarning yaqinlashishi deganda nimani tushunasiz? 
3.
Asosiy hisob formulalarini chiqaring. 
4.
Hisoblashlarni tugatish shartlarini tushuntiring. 
5.
Hisoblash usullarining afzalliklari va kamchiliklarini ko‘rsating. 
6.
Hisoblash usullarining algoritmlarini izohlang. 

---

60 
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO‘YXATI 
 
1.
Абдухамидов А.У., Худойназаров С. Ҳисоблаш усулларидан 
амалиёт ва лаборатория машғулотлари. – Тошкент: Ўқитувчи, 
1995. – 240 б. 
2.
Алексеев Е.Р., Чеснокова О.В. Решение задач вычислительной 
математики в пакетах Mathcad, Mathlab, Maple (Самоучитель). – 
М.: НТ Пресс, 2006. – 496 с. 
3.
Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные 
методы. – М.: Изд-во Бином. Лаборатория знаний, 2011. – 640 с. 
4.
Бахвалов Н. С., Корнев А. А., Чижонков Е. В. Численные методы. 
Решения задач и упражнения. – М.: Изд-во Дрофа, 2009. – 400 с. 
5.
Бахвалов Н. С., Лапин А. В., Чижонков Е. В. Численные методы в 
задачах и упражнениях. – М.: Изд-во Бином. Лаборатория знаний, 
2010. – 240 с. 
6.
Вержбицкий В. М. Основы численных методов. – М.: Высшая 
школа, 2009. – 848 с. 
7.
Воробьева 
Г.К., 
Данилова 
А.Н. 
Практикум 
по 
вычислительной математике. – М: Высшая школа, 1990. 
8.
Говорухин В.Н., Цибулин В.Г. Введение в Maple V. 
Математический пакет для всех. - М.: Мир, 1997. 
9.
Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной 
математики. М.: Наука, 1966. 
10.
Дьяконов В.П. Maple 6: учебный курс. - СПб.: Питер, 2001. 
11.
Жидков В.Н. Вычислительная математика. – М, Академия, 2010. 
– 208 с. 
12.
Исраилов М.И. Ҳисоблаш усуллари. 1- ва 2-қисмлар. – 
Тошкент: Ўқитувчи, 2003, 2008. 
13.
Калиткин Н.Н. Численные методы. – С.Пб.: Изд-во БХВ-
Петербург, 2011. – 592 с. 
14.
Копченова Н.В., Марон И. А. Вычислителная математика в 
примерах и задачах. – М.: Наука, 2008. – 368 с. 
15.
Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырский П.И. Вычислительные 
методы. М.: Наука, 1976. 
16.
Манзон Б.М. Maple V Power Edition. - М.: Филинъ, 1998. 
17.
Сборник задач по методам вычислений. Учебное пособие / Под 
ред. П.И.Монастырного. – 2-е изд. – Мн.: Университецкое, 2000. 
– 311 c.
 

---

61 
ABLAKUL ABDIRASHIDOV, 
SHAXOBIDDIN SAYFIDDINOVICH MAMATOV 
NOCHIZIQLI TENGLAMALAR 
SISTEMASINI YECHISHNING
SONLI USULLARI BO‘YICHA 
USLUBIY KO‘RSATMALAR 
 
5130200 – Amaliy matematika va informatika
ta’lim yo‘nalishi bakalavr talabalari uchun 
Muharrir G.Q.Rahumova
Musahhih G.Q. Rahumova 
Texnik muharrir M.Ro‘ziboyev 
 
2008 yil 19-iyun 68-buyruq. 
2013 yil 29-avgustda noshirlik bo’limiga qabul qilindi. 
2014 yil 10-iyulda original maketdan bosishga ruxsat etildi. 
Bichimi 60x84/1, 16, «Times New Roman» garniturasi.
Ofset qog’ozi. «Risograf» matbaa uskunasida bosildi.
Shartli bosma tabog’i – 3,75. Nashriyot hisob tabog’i – 3,0.
Adadi 25 nusxa. 258-buyurtma. 
_________________________________________ 
SamDU bosmaxonasida chop etildi. 
140104, Samarqand sh., Universitet xiyoboni, 15 
 
View publication stats
View publication stats