Microsoft Word Уч пособие 22 09. doc

n




 _x
i
_ x _i
...
^{ x}i
m 1 _




 ^ ₀  _
^{ y i} 

2
^ x x 2
3
x ...
_x ^m _  _
^  _ x _i y 

 ^{ i  i  i
} i _  
¹  = _
i ^{ .}

_ . .
. ...
_{. } _ ^:  _
... 

_{ x}
m 1
_{ x} m
_{ x} m 1
...
_{ x} 2( m 1 ) _
^ m 1 ^
_{ x}
m 1
y

_ i i i
i _ _{ i}
i ^_
(9.56)





2
При вычислении размера фрактала используется линейная выборочная регрессия:




 _x
i
_ y _k

• 
  _ x _i
  

^{ x k y k} 

_€_{ } ^
n_ x
²  ( _ x ) ^{2 }

и^€  _€⁰ _  ^{
i i } . (9.57)


1 ^ ^
n_ x _i y _i
2
 _ x _{i } y _k ^


2




^ n_ x _i  ( _ x _i ) ^
Размер фрактала оценивается по формуле

D=2- ^€₁
. (9.58)

Качество “наилучшего” линейного приближения оценивается значением коэффициента корреляции логарифма длины контура и логарифма шага [103]:

^rlogL,logS
_ cov(logL,logS )
E[(logL  M )(logS  M )]
_ logL logS

, (9.59)

где D - дисперсия, M - математическое ожидание соответствующих случайных величин logL и logS.

При низком коэффициенте корреляции полученное значение размера фрактала исключается из процедуры усреднения.
Измерение размера фрактала по методу оценки длины контура при сканировании по строкам и по столбцам раздельно позволяет оценивать анизотропные свойства текстуры, в то время как комбинированный метод, при котором осуществляется подсчет краев как вдоль строк, так и вдоль столбцов, пригоден для анализа изотропных текстур.
В качестве модели для исследования оценки размера фрактала по длине контура используем синтезированные в соответствии с алгоритмом, представленным в разделе 9.4.2, фракталы с показателем Херста от 0,1 до 0,9.
Моделирование выполнено на серии из 50 реализаций фракталов. Поскольку распределение оценки размера фрактала имеет большую дисперсию, произведена низкочастотная фильтрация оценки размера фрактала. Значения m и  , соответствующие значениям математического ожидания и СКО размеров фракталов, приведенных к диапазону значений [2,3] и представленных уровнями [0,255] приведены в таблице 9.1.

Таблица 9.1. Оценка размера фрактала по длине контура (по строкам и по столбцам) после низкочастотной фильтрации

N	Фрагмент 32x32			Фрагмент 16x16			Фрагмент 8x8
	m		m			m		
0,1	192,19	5,28	197,89		3,93	201,87		6,0
0,2	174,97	5,4	190,41		4,1	195,79		5,6
0,3	158,85	9,0	183,58		4,5	190,78		4,9
0,4	168,93	8,1	179,14		4,2	186,87		3,8
0,5	158,55	7,46	174,04		5,14	178,9		3,64
0,6	154,39	9,42	167,04		5,91	175,64		5,16
0,7	146,01	8,08	159,59		5,73	168,67		4,82
0,8	137,23	8,45	150,25		6,17	163,6		4,83
0,9	137,57	8,14	148,45		6,69	164,17		5,6

На основании этих данных построены матрицы расстояний между этими 9 фракталами, вычисленные как мера Фишера. В качестве примера в таблице 9.2 приведены значения межфрактальных расстояний для окна 16x16.
Таблица 9.2 Матрица межфрактальных расстояний, определенных как мера Фишера при оценке размера фрактала по длине контура (по строкам и столбцам, окно16x16)

H	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9
0,1	0	0,93	1,7	2,31	2,63	3,14	3,96	4,66	4,72
0,2		0	0,79	1,36	1,77	2,33	3,14	3,89	3,91
0,3			0	0,51	0,99	1,59	2,35	3,12	3,14
0,4				0	0,55	1,2	1,97	2,79	2,82
0,5					0	0,63	1,33	2,1	2,16
0,6						0	0,64	1,39	1,48
0,7							0	0,78	0,9
0,8								0	0,14
0,9									0

На основании проведенного исследования можно сделать следующие выводы:

• 
  Метод оценки размера фрактала по длине контура можно использовать при условии низкочастотной фильтрации оценки размера фрактала.
  
• 
  Исключение некоторых изаритмов из рассмотрения при оценке размера фрактала может приводить к неразличимости фракталов, имеющих разный размер.
  
• 
  Для изотропных текстур большей эффективностью обладает алгоритм оценки размера фрактала по строкам и по столбцам.
  
• 
  В задачах сегментации, когда необходимо различить объекты, а не собственно оценить размер фрактала, представляется целесообразным не вычислять размер фрактала, поскольку это лишь приводит к дополнительным ошибкам, связанным с оценкой тангенса угла наклона линейной выборочной регрессии, а использовать изменение характера зависимостей, по которым фрактал оценивается.
  

3. Сегментация текстурных изображений по методу треугольной пирамиды

Метод треугольной пирамиды [104] устанавливает соотношение между площадью поверхности, создаваемой яркостью изображения, и пространственным разрешением двумерных единиц, используемых для измерения этой площади. Изображение рассматривается на квадратной сетке и измерения производятся для серии размеров этой сетки. Треугольная пирамида строится как показано на рисунке 9.10.

y
Рисунок 9.10 Построение пирамиды при оценке размера фрактала по методу пирамиды.

На плоскости растра на расстоянии заданного шага S (FG = EH = FE = GH) по строке и столбцу восстанавливаются перпендикулярно к растру 4 ребра, длины которых равны яркости соответствующих отсчетов изображения. Соединение вершин 4 ребер задает основание треугольной пирамиды ABCD. Вершина пирамиды O строится как вершина перпендикуляра к плоскости растра, восстановленного из центра квадратной площадки размером SS, и равного среднему значению четырех опорных отсчетов яркостей:
_OP= AE  DH  BF  CG _{. (9.60)}
4
Вычисляется площадь боковой поверхности полученной треугольной пирамиды OABCD.
Для вычисления площади боковой поверхности треугольной пирамиды необходимо определить 4 площади треугольников:

^S OABCD
 S
OAD

• 
  S
  

AOB

• 
  S
  

BOC

• 
  S
  

COD
. (9.61)

Площадь каждого из треугольников определяется аналогично площади
OAD :

^S OAD ⁼
, (9.62)

где
_{p } AO  AD  DO
2
есть полупериметр
OAD ,

AO  , AD  ,


OD  , AE и DH - яркости в соответствующих отсчетах.

Для каждого шага S _i
на растре формируются пирамиды и

вычисляется суммарная площадь боковых поверхностей этих пирамид.

Так, при
S  1
i
в вычислениях используются все отсчеты яркостного

сигнала, при
S  2
i

• 
  в четыре раза меньше, при шаге
  

S  4
i

• 
  в 16 раз
  

меньше отсчетов участвует в вычислениях и так далее. Сканирование осуществляется сверху вниз, слева направо. Затем строится выборочная регрессия логарифма суммарной площади боковых поверхностей пирамид

на логарифм площади элемента растра S ²
i
(9.57).
в соответствии с уравнением

Размер фрактала вычисляется по формуле (9.58), а качество оценки производится по коэффициенту корреляции в соответствии с (9.59).
Выполнены исследования оценки размера фрактала по алгоритму пирамиды после низкочастотной фильтрации для 9 различных фракталов и 3 размеров фрагментов, по которым производилась оценка. В таблице 9.3 приведена матрица межфрактальных расстояний для 9 различных фракталов и окна17x17.
На основании проведенных исследований можно сделать следующие выводы:

• 
  Метод пирамиды можно использовать для оценки размера фрактала при условии низкочастотной фильтрации оценки размера фрактала.
  
• 
  Метод пирамиды имеет большую эффективность, чем алгоритм оценки размера фрактала по длине контура.
  
• 
  В задачах сегментации, когда необходимо различить объекты, а не собственно оценить размер фрактала, представляется целесообразным не вычислять размер фрактала, поскольку это лишь приводит к
  

дополнительным ошибкам, связанным с оценкой тангенса угла наклона линейной выборочной регрессии, а использовать изменение характера зависимостей, по которым фрактал оценивается, если это возможно.
Таблица 9.3. Матрица межфрактальных расстояний при оценке размера фрактала по площади пирамиды (окно17x17)

H	m		0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9
0,1	75,2	3,2	0	0,4	0,91	1,65	2,08	2,49	3,71	4,49	5,17
0,2	72,8	2,8		0	0,57	1,32	1,79	2,24	3,53	4,37	5,1
0,3	69,5	3,0			0	0,68	1,15	1,6	2,78	3,58	4,26
0,4	65,8	2,5				0	0,53	1,05	2,29	3,16	3,91
0,5	63,1	2,8					0	0,53	1,68	2,52	3,24
0,6	60,2	2,3						0	1,07	1,86	2,54
0,7	54,8	2,2							0	0,86	1,59
0,8	51,0	2,1								0	0,73
0,9	47,8	2,1									0

4.