Microsoft Word Sh. Xurramov Oliy matematika 1-qism doc

1.2.2. 
A
 
kvadrat matritsa uchun 
E
A
A
AA




1
1
tenglik bajarilsa, 
1

A
matritsa 
A
matritsaga 
teskari matritsa
deyiladi.
A
matritsaning teskari matritsasi
formula bilan aniqlanadi. 
Har qanday
 
maxsusmas 
A
matritsa uchun
1

A
matritsa mavjud va
yagona boladi. 

.
1
2

1
2
22
12
1
21
11
1

















nn
n
n
n
n
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A







 
(1.5) 

---

16 


3
misol.

 
A
 
matritsaga teskari matritsani toping: 














1
2
1
3
1
1
0
1
2
A
. 
Matritsaning determinantini hisoblaymiz:
0
16
1
2
1
3
1
1
0
1
2








. 
Demak, 
1

A
mavjud.

ning algebraik to‘ldiruvchilarini hisoblaymiz: 
;
7
1
2
3
1
11




A
;
1
1
2
0
1
21






A
;
3
3
1
0
1
31




A
;
2
1
1
3
1
12





A
;
2
1
1
0
2
22




A
;
6
3
1
0
2
32





A
;
3
2
1
1
1
13




A
;
5
2
1
1
2
23





A
.
1
1
1
1
2
33




A
Teskari matritsani (1.5) formuladan topamiz:







































16
1
16
5
16
3
8
3
8
1
8
1
16
3
16
1
16
7
1
5
3
6
2
2
3
1
7
16
1
1
A
1.2.3.
n
m

o‘lchamli 
A
 
matritsadan 
k


)
;
min(
n
m
k

ta satr va 
k
ta 
ustunni ajratib, hosil qilingan 

k
tartibli kvadrat matritsaning determinantiga 
A
matritsaning 

k
tartibli minori 
deyiladi.
A
 
matritsa noldan farqli minorlarining yuqori tartibiga 
A
 matritsaning 
rangi 
deyiladi va 
)
(
A
r
(yoki 
rangA
) bilan belgilanadi. Bunda 
Q
A

uchun
)
;
min(
)
(
1
n
m
A
r


, 
Q
A

uchun 
.
0
)
(

A
r
)
(
A
r
ni ta’rif asosida topish usuli 
minorlar ajratish usuli 
deb ataladi. 

---

17 
Matritsalar ustida bajariladigan quyidagi almashtirishlarga 
elementar
almashtirishlar
deyiladi: 
a) faqat nollardan iborat satrni (ustunni) o‘chirish;
b) ikkita satrning (ustunning) o‘rinlarini almashtirish;
c) biror satrning (ustunning) barcha elementlarini noldan farqli songa 
ko‘paytirish;
d) biror satrning (ustunning) barcha elementlarini noldan farqli songa 
ko‘paytirib, boshqa satrning (ustunning) mos elementlariga qo‘shish. 
Biri ikkinchisidan elementar almashtirishlar natijasida hosil qilingan 
A
va 
B
matritsalarga 
ekvivalent matritsalar
deyiladi va 
A
~
B
deb yoziladi. 
Diagonal elementlarining ayrimlari (yuqori satrlardagi) birga va 
ayrimlari nolga teng bo‘lgan matritsaga 
kanonik matritsa 
deyiladi. Kanonik 
matritsaning rangi uning diagonalida joylashgan birlar soniga teng bo‘ladi.
)
(
A
r
ni 
A
matritsani elementar almashtirishlar orqali kanonik matritsaga
keltirib topish usuliga 
elementar almashtirishlar usuli
deyiladi. 

4
misol. Matritsaning rangini minorlar ajratish usuli bilan toping: 
.
2
8
1
1
2
7
1
5
2
4
4
2
3
1
2















A
.
3
)
5
;
3
min(
)
(
1



A
r
Ikkinchi tartibli minorlardan biri 
.
0
1
6
5
5
2
3
1







Uchinchi tartibli minorlarni hisoblaymiz: 
;
0
1
1
2
5
2
4
3
1
2
)
3
(
1





M
;
0
8
1
2
1
2
4
2
1
2
)
3
(
2






M
Elementar almashtirishlar natijasida matritsaning rangi o‘zgarmaydi.
 

---

18 
;
0
2
1
2
7
2
4
4
1
2
)
3
(
3





M
;
0
8
1
1
1
5
2
2
3
1
)
3
(
4






M
;
0
2
1
1
7
5
2
4
3
1
)
3
(
5





M
;
0
2
8
1
7
1
5
4
2
3
)
3
(
6



M
;
0
2
8
1
7
1
2
4
2
1
)
3
(
7






M
;
0
2
1
2
7
5
4
4
3
2
)
3
(
8


M
;
0
8
1
2
1
5
4
2
3
2
)
3
(
9



M
.
0
2
8
2
7
1
4
4
2
2
)
3
(
10



M
Barcha uchinchi tartibli minorlar nolga teng. Demak 
.
2
)
(

A
r

5
misol. Matritsaning rangini elementar almashtirishlar usuli bilan 
toping: 




















3
17
7
1
9
7
1
3
3
5
4
1
0
10
5
0
A
. 
Matritsani kanonik ko‘rinishga keltiramiz.
Buning uchun elementar almashtirishlarni bajaramiz: 
–
avval matritsaning 

1
va 

4
satrlarining o‘rinlarini almashtiramiz, 
keyin 

2
satr elementlariga 

1
satrning mos elementlarini qo‘shamiz va 

3
satr elementlariga 
)
3
(

ga ko‘paytirilgan 

1
satrning mos elementlarini 
qo‘shamiz;
– 
hosil bo‘lgan matrisaning 
2
,
3
va 

4
satr elementlarini mos ravishda 
)
11
(

, 22 va 5 ga bo‘lamiz, keyin 
)
1
(

ga ko‘paytirilgan 

2
satr elementlarini 
3
va 

4
satrning mos elementlariga qo‘shamiz; 
–
hosil bo‘lgan matritsaning 
2
,
3
va 

4
ustun elementlariga mos 
ravishda 7, 
)
17
(

va 
)
3
(

ga ko‘paytirilgan 

1
ustun elementlarini qo‘shamiz, 

---

19 
keyin 

3
ustun elementlariga 2 ga ko‘paytirilgan 

2
ustun elementlarini 
qo‘shamiz.
Bajarilgan elementar almashtirishlarni sxema tarzida keltiramiz:
Demak,
.
2
)
(

A
r
 
Mustahkamlash uchun mashqlar 
 
B
A
,
matritsalar va


,
sonlar berilgan.
B
A



matritsani toping: 
1.2.1.
.
2
,
1
,
2
0
1
1
3
2
,
0
3
2
1
1
1


























B
A
 
1.2.2.
.
3
,
2
,
5
2
1
3
2
1
,
4
1
1
2
3
0
































B
A
 
 














0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
.
~
2















0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
1
0
0
0
0
1
~
~
7
17

















0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
1
0
3
17
7
1
3

 




















3
17
7
1
9
7
1
3
3
5
4
1
0
10
5
0
A
~



















0
10
5
0
9
7
1
3
3
5
4
1
3
17
7
1
1 
-
3 
~
~
1

1



















0
2
1
0
0
2
1
0
0
2
1
0
3
17
7
1
~
5
:
22
:
)
11
(
:

~


















0
10
5
0
0
44
22
0
0
22
11
0
3
17
7
1

---

20 
1.2.3.
.
2
,
3
,
2
3
4
0
1
0
1
1
3
,
1
3
2
2
3
1
0
1
2



































B
A

1.2.4.
.
,
1
,
,
2
0
1
3
3
5
2
1
2






















E
B
A

A
va 
B
matritsalar berilgan.
AB
matritsani toping:
1.2.5.
.
0
2
3
2
1
1
,
3
1
0
2



















B
A
1.2.6. 
.
3
2
2
4
,
2
3
1
0
1
2






















B
A