Microsoft Word Sh. Xurramov Oliy matematika 1-qism doc

 
 

---

4 
I bob
CHIZIQLI ALGEBRA ELEMENTLARI
 
 
1.1. DETERMINANTLAR 
Ikkinchi va uchinchi tartibli determinantlar. Determinantning xossalari. 

n
tartibli determinantlar 
1.1.1.
21
12
22
11
a
a
a
a

ifodaga 
ikkinchi tartibli determinant 
deyiladi va u
21
12
22
11
22
21
12
11
a
a
a
a
a
a
a
a


(1.1) 
deb yoziladi, bu yerda 



)
2
,
1
,
2
,
1
(
j
i
a
ij
determinantning 
i
–satr va 
j
–ustunda joylashgan elementi. 
22
11
,
a
a
elementlar determinantning bosh diagonalini, 
21
12
,
a
a
elementlar 
determinantning yordamchi diagonalini tashkil etadi. 
Ikkinchi tartibli determinant bosh diagonal elementlari ko‘paytmasi 
bilan yordamchi diagonal elementlari ko‘paytmasining ayirmasiga teng: 

1
misol. Determinantlarni hisoblang: 
1)
2
4
5
1

; 2)
.
sin
sin




ctg
tg
Determinantlarni ta’rif (sxema) asosida topamiz: 
1)
;
22
4
)
5
(
2
1
2
4
5
1







2)
.
cos
sin
1
sin
sin
sin
sin
2
2
















ctg
tg
ctg
tg
+ 
22
21
12
11
a
a
a
a
22
21
12
11
a
a
a
a
_ 

---

5 
- 
33
32
31
23
22
21
13
12
11
a
a
a
a
a
a
a
a
a

 
33
32
31
23
22
21
13
12
11
a
a
a
a
a
a
a
a
a
32
23
11
33
21
12
31
22
13
32
21
13
31
23
12
33
22
11
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a





ifodaga
uchinchi
tartibli determinant 
deyiladi va u 
)
2
.
1
(
.
32
23
11
33
21
12
31
22
13
32
21
13
31
23
12
33
22
11
33
32
31
23
22
21
13
12
11
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a






deb yoziladi.
Uchinchi tartibli determinantlarni hisoblashda (1.2) ifodaning o‘ng 
tomonidagi ko‘paytmalarini topishning yodda saqlash uchun oson bo‘lgan 
quyidagi sxemalaridan foydalaniladi. 
«
Uchburchak qoidasi
» ushbu sxema bilan tasvirlanadi: 
Bunda avval (1.2) determinant bosh diagonalidagi va asosi shu 
diagonalga parallel bo‘lgan teng yonli uchburchaklar uchlaridagi elementlar 
alohida-alohida chiziqlar bilan tutashtirilib, determinantning musbat ishorali 
ko‘paytmalari, keyin determinantning yordamchi diagonalidagi va asosi shu 
diagonalga parallel bo‘lgan teng yonli uchburchaklar uchlaridagi elementlar 
alohida-alohida chiziqlar bilan tutashtirilib, determinantning manfiy ishorali 
ko‘paytmalari hosil qilinadi. 
«
Sarryus qoidalari
» quyidagi sxemalar bilan ifodalanadi: 



_ 
_ 
_ 
23
22
21
13
12
11
33
32
31
23
22
21
13
12
11
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
1) 
2) 



_ 
_ 
_ 
32
31
33
32
31
12
21
23
22
21
12
11
13
12
11
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a

---

6 
1-qoidada avval (1.2) determinant tagiga uning birinchi ikkita satri
yoziladi, 2-qoidada esa (1.2) determinant o‘ng tomoniga uning birinchi ikkita 
ustuni yoziladi. Keyin bosh diagonaldagi va bu diagonalga parallel to‘g‘ri 
chiziqlardagi uch element alohida-alohida chiziqlar bilan tutashtirilib, 
determinantning musbat ishorali ko‘paytmalari hosil qilinadi hamda 
yordamchi diagonaldagi va bu diagonalga parallel to‘g‘ri chiziqlardagi uch 
element alohida-alohida chiziqlar bilan tutashtirilib, determinantning manfiy
ishorali ko‘paytmalari hosil qilinadi. 

2
misol. Determinantlarni hisoblang: 1)
1

ni uchburchak qoidasi bilan;
2)
2

ni Sarryusning 1-qoidasi bilan,
3

ni Sarryusning 2-qoidasi bilan. 
2
3
1
1
2
3
3
1
2
1





,
1
4
2
2
1
3
3
5
1
2




,
2
1
3
3
0
2
1
4
3
3




. 
1) 
1

determinantni uchburchak qoidasi asosida topamiz: 
2) 
2

va 
3

determinantlarni Sarryus qoidalari bilan hisoblaymiz: 
Determinant 
ij
a
elementining 
ij
M
minori
deb, shu element joylashgan 
satr va ustunni o‘chirishdan hosil bo‘lgan determinantga aytiladi
. 
ij
j
i
ij
M
A



)
1
(
miqdorga determinant 
ij
a
 elementining algebraik
to‘ldiruvchisi
deyiladi. 
2
3
1
1
2
3
3
1
2



,
20
27
1
8





2
3
1
1
2
3
3
1
2



,
6
6
6
6




.
14
6
20
1




.
84
29
55
)
15
8
6
(
20
36
1
2
1
3
3
5
1
1
4
2
2
1
3
3
5
1
2
















.
31
)
16
9
0
(
2
36
0
1
3
2
1
3
0
2
3
0
2
4
3
1
4
3
3













---

7 
 1.1.2.
Determinant quyidagi xossalarga ega.
.
1
o
Transponirlash (barcha satrlarni mos ustunlar bilan almashtirish) 
natijasida determinantning qiymati o‘zgarmaydi.

 
.
2
o
 
Determinantda ikkita satr (ustun) o‘rinlari almashtirilsa, determinant 
ishorasini qarama-qarshisiga o‘zgartiradi. 
 
.
3
o
 
Agar determinant ikkita bir xil satrga (ustunga) ega bo‘lsa, uning 
qiymati nolga teng. 
 
.
4
o
 
Determinantning biror satri (ustuni) elementlarini 
0


songa 
ko‘paytirilsa, determinant shu songa ko‘payadi yoki biror satr (ustun) 
elelmentlarining umumiy ko‘paytuvchisini determinant belgisidan chiqarish 
mumkin.
 
.
5
o
 
Agar determinant biror satrining (ustunining) barcha elementlari 
nolga teng bo‘lsa, uning qiymati nolga teng.
 
.
6
o
Agar determinant ikki satrining (ustunining) mos elementlari 
proporsional bo‘lsa, uning qiymati nolga teng.
 
.
7
o
 
Agar determinant biror satrining (ustunining) har bir elementi ikki 
qo‘shiluvchi yig‘indisidan iborat bo‘lsa, determinant ikki determinant 
yig‘indisiga teng bo‘lib, ulardan birinchisining tegishli satri (ustuni) birinchi 
qo‘shiluvchilardan, 
ikkinchisining 
tegishli 
satri 
(ustuni) 
ikkinchi 
qo‘shiluvchilardan tashkil topadi. 
 
.
8
o
 
Agar determinantning biror satri (ustuni) elementlariga boshqa 
satrining (ustunining) mos elementlarini biror songa ko‘paytirib qo‘shilsa, 
determinantning qiymati o‘zgarmaydi.

 
.
9
o
Determinantning qiymati uning biror satri (ustuni) elementlari bilan 
shu 
elementlarga 
mos 
algebraik 
to‘ldiruvchilar 
ko‘paytmalarining
yig‘indisiga teng.
.
10
o
 
Determinant biror satri (ustuni) elementlari bilan boshqa satri 
(ustuni) mos elementlari algebraik to‘ldiruvchilari ko‘paytmalarining 
yig‘indisi nolga teng. 
Uchinchi tartibli determinantni uchburchak va Sarryus qoidalari bilan 
bir qatorda yuqorida keltirilgan xossalar orqali soddalashtirib, hisoblash 
mumkin.

3
misol. Determinantni hisoblang: 
9
8
7
6
5
4
3
2
1


. 

---

8 

2
va 

3
satrlarga
)
1
(

ga ko‘paytirilgan 

1
sartni qo‘shamiz.
Bunda 
o
8
xossaga ko‘ra determinantning qiymati o‘zgarmaydi.
U holda
6
6
6
3
3
3
3
2
1


. 
Bu determinantning 

2
va 

3
satrlarining mos elementlari proporsional.
Shu sababli 
o
6
xossaga ko‘ra determinant nolga teng, ya’ni 
.
0


1.2.3. 
n
ta satr va 
n
ta ustundan tashkil topgan ushbu
nn
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
...
...
...
...
...
...
...
2
1
2
22
21
1
12
11


determinantga

n
tartibli determinant
deyiladi. 

n
tartibli determinant avval xossalar bilan soddalashtirilib, keyin 
quyidagi usullardan biri bilan hisoblanishi mumkin: 
a)
,
,
1
,
...
2
2
1
1
n
i
A
a
A
a
A
a
in
in
i
i
i
i







(1.3) 
.

,
1
,
...
2
2
1
1
n
j
A
a
A
a
A
a
nj
nj
j
j
j
j







(1.4)