|
Funksiyalarni Teylor va Makloren qatorlariga yoyish.
Binomial qator. Asosiy elementar funksiyalarni qatorlarga
yoyish.
Teylor va Makloren qatorlari
1
.
x
R
x
f
x
f
f
x
f
n
...
!
2
0
!
1
0
0
2
(12.7)
ko’rinishdagi formula Makloren formulasi deyiladi, bunda
1
0
;
!
x
f
n
x
x
R
n
n
n
.
2
.
x
R
a
x
a
f
a
x
a
f
a
f
x
f
n
...
!
2
!
1
2
(12.8)
ko’rinishdagi formula Teylor formulasi deyiladi, bunda
a
x
a
f
n
a
x
x
R
n
n
n
!
.
3
. Teylor va Makloren qatorlari. (12.7) va (12.8) formulalarda
n
cheksizlikka intilganda
n
n
R
nolga
intilsa
0
x
R
n
, u holda bu formulalardan
x
ning
0
lim
x
R
n
n
bo’lgandagi qiymatlari uchun
x
f
ga
yaqinlashuvchi quyidagi
...
!
2
0
!
1
0
0
2
x
f
x
f
f
x
f
(12.9)
...
!
2
!
1
2
a
x
a
f
a
x
a
f
a
f
x
f
(12.10)
cheksiz qatorlar hosil bo’ladi.
4
. Elementarfunksiyalarning qatorlarga yoyilmalari:
...,
!
4
!
2
1
cos
...,
!
5
!
3
sin
...,
!
3
!
2
!
1
1
4
2
5
3
3
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
e
x
bu qator
x
ning har qanday qiymatlari uchun mos (ko’rsatilgan) funksiyalarga yaqinlashadi.
...
2
1
1
1
1
1
2
x
m
m
x
m
x
m
- binominal qator bo’lib,
1
x
bo’lganda
m
x
1
binomga yaqinlashadi.
...
3
2
1
ln
3
2
x
x
x
x
qator
1
1
x
bo’lganda
x
1
ln
ga yaqinlashadi.
...
5
3
5
3
x
x
x
arctgx
qator
1
x
bo’lganda
arctgx
ga yaqinlashadi.
“А” guruh
12.206
. Quyidagi funksiyalar x ning darajalari bo’yicha qatorga yoyilsin va qoldiq hadning forulasi yozilsin va u
tekshirilsin: 1)
a
x
cos
; 2)
x
2
sin
; 3)
; 4)
3
sin
mx
.
12.207
.
kx
e
x
f
1
ln
funksiyaning qatorga yoyilmasidagi birinchi hadi yozilsin.
12.208
.
m
a
x
1
binom Makloren formulasiga asosan
x
dagi darajalari bo’yicha qatorga yoyilsin va hosil bo’lgan
qator
a
x
bo’lganda yaqinlashuvchi ekanligi aniqlansin.
12.209
.Binomial qatorga asosan
1
x
bo’lganda
1
1
3
2
3
2
1
...
10
6
3
1
1
1
n
n
x
n
n
x
x
x
x
ekanligi
ko’rsatilsin.
12.210
. Binomial qatorga asosan
1
x
bo’lganda
...
!
3
2
5
3
1
!
2
2
3
1
2
1
1
1
1
6
3
4
2
2
2
x
x
x
x
yoyilmasi
hosil qilinsin.
12.212.
Quyidagi funksiyalarni
x
ning darajalari bo’yicha qatorga yoyilsin:
1)
x
x
1
1
ln
; 2)
2
3
2
ln
x
x
; 3)
2
1
ln
x
x
.
12.212
.
a
x
e
x
f
funksiyani
a
x
ning darajalari bo’yicha qatorga yoyilsin, qoldiq hadning formulasi yozilsin va
tekshirilsin.
12.213
.
x
x
x
f
3
3
funksiya
1
x
ning darajalari bo’yicha qatorga yoyilsin.
12.214
.
4
x
x
f
funksiya
1
x
ning darajalari bo’yicha qatorga yoyilsin.
12.215
.
x
x
f
1
funksiyani
2
x
ning darajalari bo’yicha qatorga yoyib, hosil bo’lgan qatorning yaqinlashishi
Dalamber alomatiga asosan tekshirilsin.
12.216
. 1)
2
cos
x
x
f
funksiya
2
x
ning darajalari bo’yicha; 2)
x
x
f
3
sin
funksiya
3
x
ning
darajalari bo’yicha qatorga yoyilsin.
12.217
.
3
x
x
f
funksiyani
1
x
ning darajalari bo’yicha qatorga yoyib, hosil bo’lgan qatorning yaqinlashishi
Dalamber alomatiga asosan tekshirilsin.
“В” guruh
Funksiyaning qatorga yoyilmasidagi birinchi hadi yozilsin:
x
xe
12.218.
x
e
y
2
12.219.
2
sin
x
y
12.220.
x
x
y
cos
3
12.221.
x
y
5
1
ln
.
12.222.
x
y
2
5
ln
. 12.223.
2
1
x
y
.
12.224.
4
1
1
x
y
. 12.225.
x
y
4
3
.
12.226.
x
e
x
y
2
2
. 12.227.
xarctgx
y
.
12.228.
x
x
y
1
ln
1
. 12.229.
2
1
ln
x
x
x
y
.
Teylor qatorining x=0 nuqtadagi 5 ta hadini toping.
12.230.
x
e
y
1
ln
12.231.
cox
e
y
12.232.
x
y
n
cos
12.233.
x
y
cos
ln
12.234.
x
x
y
1
Limitlarni Teylor qatoriga yoyish yordamida hisoblang.
12.235.
3
2
0
1
ln
lim
x
x
x
x
x
12.236.
5
3
0
sin
2
lim
x
x
x
tgx
x
12.237.
1
1
ln
1
ln
lim
2
2
0
x
x
e
x
x
x
x
x
12.238.
x
x
x
x
1
1
ln
lim
2
12.239.
x
ctg
x
x
2
2
0
1
lim
§12.4 Fur`e qatori. Fur`e inegrali
1
. Ta’rif: Agar [
a
,
b
] segmentda
x
f
funksiya
1) soni chekli uzilishlarga ega bo’lib, ularning hammasi 1 – tur uzilishlar bo’lsa;
2) sonli chekli ekstremumlarga ega bo’lsa;
3) (
a
,
b
) oraliqning har bir nuqtasida
2
0
0
x
f
x
f
x
f
bo’lsa, funksiya shu segmentda Dirixle shartlariga
bo’ysunadi deyiladi.
2.
[-
l
,
l
] segmentda Dirixle shartlariga bo’ysunuvchi
x
f
funksiya kesmaning har bir nuqtasida quyidagi
Fur’e qatori bilan aniqlanishi mukin:
1
0
sin
cos
2
n
n
n
l
x
n
b
l
x
n
a
a
x
f
(12.11)
bunda
l
l
l
l
n
n
dx
l
x
n
x
f
l
b
dx
l
x
n
x
f
l
a
sin
1
;
cos
1
(12.12)
Agar
x
f
x
f
, ya’ni
x
f
- juft funksiya bo’lsa, u holda
0
n
b
va
1
0
cos
2
n
n
l
x
n
a
a
x
f
(12.13)
Agar
x
f
x
f
, ya’ni
x
f
- toq funksiya bo’lsa, u holda
0
n
a
va
1
sin
n
n
l
x
n
b
x
f
(12.14)
Agar [-
l
,
l
] segmentda (12.11) qator bilan aniqlangan
x
f
funksiyani
2
0
0
l
f
l
f
l
f
shartning bajarilishini talab etib, uni 2
l
ga teng davr bilan davom etirsak, funksiya o’zining butun davomida ham
(12.11) qator bilan aniqlanadi.
3
.
x
f
funksiya
,
oraliqda absolyut integrallanuvchi (ya’ni
dx
x
f
yaqinlashadi) bo’lsa va har
qanday chekli segmentda Dirixle shartlariga bo’ysunsa, u holda bu funksiya quyidagi Fur’e integrli bilan ifodaladi:
0
0
sin
cos
cos
1
d
x
b
x
a
dt
t
x
t
f
d
x
f
(12.15)
bunda
tdt
t
f
a
cos
1
va
tdt
t
f
b
sin
1
(12.16)
Davri
2
bo’lgan quyidagi funksiyalar Fur’e qatorlariga yoyilsin:
Do'stlaringiz bilan baham: |
