|
2.3.
Koshi alomati.
Musbat hadli sonli qatorlarning yaqinlashuvini
aniqlashga yordam beradigan yana bir alomat bilan tanishamiz.
4-TEOREMA
(
Koshi alomati
):
Berilgan
1
k
k
u
musbat hadli sonli qator
uchun
k
u
n
n
n
lim
(5)
limit mavjud bo‘lsin. Bu holda
k
<1 bo‘lganda qator yaqinlashuvchi,
k>
1
bo‘lganda
esa uzoqlashuvchi bo‘ladi.
Bu teoremaning isboti ham Dalamber alomati isbotiga o‘xshash va shu sababli
uni o‘quvchiga mustaqil ish sifatida qoldiramiz.
Izohlar: 1.
Agar
k
=1 bo‘lsa, qator yaqinlashuvchi ham, uzoqlashuvchi ham
bo‘lishi mumkin.
2.
Agar
n
n
n
u
lim
bo‘lsa , ko‘rilayotgan qator uzoqlashuvchi bo‘ladi .
Masalan, ushbu musbat hadli
п
п
п
п
4
3
1
sonli qator yaqinlashuvchidir. Haqiqatan ham bu qator uchun
1
4
1
3
4
lim
3
4
lim
lim
k
n
n
n
n
u
n
n
n
n
n
n
n
va, Koshi alomatiga ko‘rа, qator yaqinlashuvchi.
2.4.
Integral alomati.
Koshi tomonidan musbat hadli sonli qatorlarni
tekshirish uchun yana bir alomat kiritilgan. Unda integral tushunchasidan
foydalanilganligi uchun integral alomati deb yuritiladi.
5-TEOREMA
(
Qator yaqinlashishining int
е
gral alomati
):
Berilgan
1
k
k
u
musbat hadli sonli qatorning hadlari o‘smovchi ketma-ketlikni tashkil etsin, ya’ni
и
1
и
2
∙ ∙ ∙
и
n
и
n+
1
∙ ∙ ∙
shart bajarilsin. Bundan tashqari
x
≥1 sohada aniqlangan, uzluksiz, o‘smovchi va
f
(1) =
и
1
,
f
(2) =
и
2
, ∙ ∙ ∙ ,
f
(
n
) =
и
n
, ∙ ∙ ∙
shartlarni qanoatlantiruvchi
f
(
x
)≥0 funksiya mavjud bo‘lsin. Bu holda berilgan
1
k
k
u
sonli qator yaqinlashuvchi bo‘lishi uchun
f x dx
( )
1
xosmas intеgral yaqinlashuvchi
bo‘lishi zarur va yetarlidir.
Isbot:
Tеorеma shartlaridan foydalanib,
k
≤
x
≤
k+
1 (
k
=1,2,3, ∙∙∙) bo‘lganda
quyidagi tengsizliklarni hosil etamiz:
1
1
1
1
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1
(
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
dx
u
dx
x
f
dx
u
u
x
f
u
k
f
x
f
k
f
n
k
n
k
k
k
k
n
k
k
k
k
k
k
u
dx
x
f
u
u
dx
x
f
u
1
1
1
1
1
1
1
)
(
)
(
n
n
n
n
n
n
S
f
S
u
S
S
dx
x
f
u
S
)
(
)
(
1
1
1
1
1
1
. (6)
Bu yerda
S
n
,
S
n
(
f
) (
n
=1,2,3, ∙∙∙) monoton o‘suvchi ketma-ketliklar bo‘lishini
ta’kidlab o‘tamiz.
I.
f x dx
( )
1
xosmas integral yaqinlashuvchi va uning qiymati
S
(
f
) bo‘lsin.
Unda , xosmas integral ta’rifiga asosan (VIII bob, §7, (2) ga qarang),
)
(
)
(
lim
f
S
f
S
n
n
mavjud va chekli bo‘ladi. Bu yerdan barcha
n
=1,2,3, ∙∙∙ uchun
S
n
(
f
)<
S
(
f
) ekanligi kelib chiqadi. Unda, (6) tengsizlikning chap tomoniga ko‘ra,
S
n
+1
≤
S
n
(
f
)+
u
1
<
S
(
f
)+
u
1
natijaga kelamiz. Bundan berilgan
1
k
k
u
sonli qatorning
barcha xususiy yig‘indilari yuqoridan chegaralangan va shu sababli
S
S
n
n
lim
mavjud hamda chekli ekanligi kelib chiqadi. Bu esa
1
k
k
u
sonli qatorni
yaqinlashuvchi ekanligini ifodalaydi.
II.
Endi
1
k
k
u
sonli qator yaqinlashuvchi va uning yig‘indisi
S
bo‘lsin.
Unda
barcha
n
=1,2,3, ∙∙∙ uchun
S
n
<
S
tengsizlik bajariladi. Shu sababli, (6) tengsizlikning
o‘ng tomoniga asosan,
S
n
(
f
)≤
S
n
<
S
ekanligini ko‘ramiz. Bu yerdan esa
)
(
)
(
lim
f
S
f
S
n
n
mavjud va chekli, ya’ni
f x dx
( )
1
xosmas integral yaqinlashuvchi
ekanligi kelib chiqadi. Bu bilan teorema to‘liq isbotlandi.
Bu teoremadan quyidagi natija kelib chiqadi.
NATIJA:
1
k
k
u
sonli qator uzoqlashuvchi bo‘lishi uchun teoremadagi
f x dx
( )
1
xosmas integral uzoqlashuvchi bo‘lishi zarur va yetarlidir.
2.5.
Umumlashgan garmonik qatorlar.
Integral alomatning tatbig‘iga
misol sifatida
umumlashgan garmonik qator
deb ataluvchi ushbu
1
1
1
3
1
2
1
1
k
p
p
p
p
k
n
(7)
musbat hadli qatorni tekshiramiz. Bu yerda
p
parametr ixtiyoriy haqiqiy qiymatni
qabul qilishi mumkin deb olamiz. Bunda
p
=1 bo‘lganda (7) oldin ko‘rib o‘tilgan (§1,
(11) misolga qarang) garmonik qatorni ifodalaydi.
Agar
p
≤0 bo‘lsa (7) sonli qator uzoqlashuvchi bo‘ladi, chunki bu holda
0
/
1
lim
p
n
n
bo‘lib, qator yaqinlashuvining zaruriy sharti bajarilmaydi.
p
>0 holda (7) sonli qator uchun
f
(
x
)=1/
x
p
(
x
≥1) funksiya teoremadagi barcha
shartlarni qanoatlantiradi. Shu sababli (7) sonli qatorning yaqinlashuvchi bo‘lishi
1
1
dx
x
I
p
p
xosmas integral yaqinlashuvchiligiga teng kuchlidir. Bu xosmas integral qiymatini
uning ta’rifi bo‘yicha uch holda alohida-alohida hisoblaymiz.
0<
p<
1.
)
1
(
lim
1
1
1
lim
1
lim
1
1
1
1
1
1
p
b
b
p
b
b
p
b
p
p
b
p
p
x
dx
x
dx
x
I
.
Demak, bu holda (7) sonli qator uzoqlashuvchi bo‘ladi. Jumladan,
1
4
1 3
2
1
3
1
1
,
1
,
1
,
1
k
k
k
k
k
k
k
k
kabi qatorlar uzoqlashuvchidir.
p
=1 .
b
x
dx
x
dx
x
I
b
b
b
b
b
ln
lim
ln
lim
1
lim
1
1
1
1
1
.
Bu yerdan garmonik qator uzoqlashuvchi ekanligiga yana bir marta ishonch
hosil etamiz.
p
>1.
b
p
b
b
p
b
p
x
p
dx
x
I
1
1
1
)
1
(
1
lim
1
lim
=
1
1
)
1
1
(
lim
1
1
1
p
b
p
p
b
.
Demak, bu holda (7) sonli qator yaqinlashuvchi bo‘ladi. Xususan,
)
0
(
1
,
1
,
1
,
1
1
1
1 3
4
1
3
1
2
k
k
k
k
k
k
k
k
sonli qatorlar yaqinlashuvchidir.
Shunday qilib, (7) umumlashgan garmonik qator
p
≤1 bo‘lganda uzoqlashuvchi,
p
>1 holda esa yaqinlashuvchi bo‘ladi.
Shuni ta’kidlab o‘tish kerakki, (7) sonli qator yaqinlashuvini Dalamber va Koshi
alomatlari orqali tekshirib bo‘lmaydi, chunki bu holda
d=
1
va
k
=1 bo‘ladi.
Umumlashgan garmonik qatorlar turli sonli qatorlarning yaqinlashuvchi
ekanligini taqqoslash alomatlari yordamida aniqlashda majoranta qator sifatida keng
qo‘llaniladi.
XULOSA
Qatorlar nazariyasining asosiy masalalaridan biri berilgan sonli qator
yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi ekanligini aniqlashdan iboratdir. Oldin bu
masalani qisman yechib, qator yaqinlashuvining zaruriy shartini aniqlagan, ammo
uni yetarli emasligini ko‘rgan edik. Shu sababli qator yaqinlashuvining zaruriy
shartlarini topish masalasi paydo bo‘ladi. Barcha hadlari (yoki chekli sondagi
hadlaridan tashqari barcha hadlari) musbat bo‘lgan qatorlar uchun bu masalani
taqqoslash, Dalamber, Koshi va integral alomatlari yordamida hal etish mumkin.
Umumlashgan garmonik qatorlar uchun ularning yaqinlashish sharti integral alomati
orqali aniqlanadi Bu qator boshqa qatorlarning yaqinlashuvini taqqoslash alomati
yordamida tekshirishda keng qo‘llaniladi.
Tayanch iboralar
* Musbat hadli sonli qator * Taqqoslash alomati * Limitik taqqoslash alomati
* Majoranta qator * Dalamber alomati * Koshi alomati * Integral alomati
* Umumlashgan garmonik qator
Takrorlash uchun savollar
1.
Qanday sonli qator musbat hadli deyiladi?
2.
Musbat hadli sonli qatorlarga misollar keltiring.
3.
Taqqoslash alomatining mohiyati nimadan iborat?
4.
Limitik taqqoslash alomati qanday ifodalanadi?
5.
Majoranta qator nima?
6.
Dalamber alomati yordamida qator yaqinlashuvi qanday tekshiriladi?
Do'stlaringiz bilan baham: | 
