Microsoft Word Олий матем 2-cem. Ma'Ruza маътинлари docx

. 
6.4.
 
Elementar bo‘lmagan boshlang‘ich funksiyalarni topish.
Bizga 
ma’lumki, berilgan 
y=f
(
x
) funksiyaning boshlang‘ich funksiyasi 
y=F
(
x
) aniq integral 
yordamida 

---



x
a
dt
t
f
x
F
)
(
)
(
formula orqali topilishi mumkin. Ammo har doim ham bu aniq integral elementar 
funksiyalarda ifodalanmaydi. Bunday hollarda 
F
(
x
) boshlang‘ich funksiya darajali 
qatorlar orqali ifodalanishi mumkin. Buning uchun integral ostidagi
f
(
t
) funksiyaning 
Makloren qatorini topamiz va uni hadlab integrallaymiz. Buni quyidagi ikkita 
misolda ko‘rib chiqamiz. 

Dastlab 
integral sinus
deb ataluvchi ushbu funksiyaning ifodasini 
topamiz: 



x
dt
t
t
x
0
sin
)
(
Si

.

 
Buning uchun 
f
(
x
)=sin
x
funksiyaning Makloren qatorida 
x 
o‘zgaruvchini 
t
orqali 
belgilab va hosil bo‘lgan qatorni 
t
ga bo‘lib, (–∞, ∞) oraliqda yaqinlashuvchi ushbu 
darajali qatorni hosil etamiz:

















0
2
1
2
1
6
4
2
)!
1
2
(
)
1
(
)!
1
2
(
)
1
(
!
7
!
5
!
3
1
sin
k
k
k
n
n
k
t
n
t
t
t
t
t
t


. 
Bu darajali qatorni (0, 
x
) oraliq bo‘yicha hadlab integrallab, integral sinus uchun (–
∞, ∞) oraliqda yaqinlashuvchi ushbu darajali qatorga ega bo‘lamiz: 



 






















0
1
2
1
0
0
2
1
0
0
2
1
0
)!
1
2
)(
1
2
(
)
1
(
)!
1
2
(
)
1
(
)!
1
2
(
)
1
(
sin
Si
k
k
k
k
x
k
k
x
k
k
k
x
k
k
x
dt
t
k
k
t
dt
t
t
x
.

Endi 
Laplas funksiyasi
deb ataladigan ushbu integralni qaraymiz: 



x
t
dt
e
x
Ф
0
2
)
(
 
. 
Bu funksiyani darajali qator orqali ifodalash uchun 
f
(
x
)=
e
x
funksiyaning Makloren 
qatorida 
x 
o‘zgaruvchini 
t
2
bilan almashtiramiz va hosil bo‘lgan qatorni hadlab 
integrallaymiz: 

 
 














0
1
2
0 0
2
0
0
2
0
!
)
1
2
(
!
!
)
(
2
k
k
k
x
k
x
k
k
x
t
k
k
x
dt
k
t
dt
k
t
dt
e
x
Ф
. 
6.5.
 
Differensial tenglamalarni yechish. 
Agar berilgan differensial 
tenglamaning 
y
umumiy yechimini aniq topish usuli bizga noma’lum yoki u 
elementar funksiyalarda ifodalanmasa, ayrim hollarda bu yechimni darajali 
qatorlar yordamida topish mumkin. Buning uchun bu yechim 








n
n
x
C
x
C
x
C
C
y
2
2
1
0
(9) 
darajali qator ko‘rinishida izlanadi. Bu yerdagi noma’lum 
C
n
(
n
=0,1,2, ∙∙∙) 
koeffitsiyentlar darajali qatorni berilgan differensial tenglamaga qo‘yish va 
hosil bo‘lgan tenglikning ikki tomonidagi 
x
o‘zgaruvchining bir xil darajalari 
oldidagi koeffitsiyentlarni tenglashtirish orqali topilishi mumkin. Bu usulni I 
tartibli ushbu 
xy
y
xy
y







0
(10) 
differensial tenglamaning umumiy yechimini topish misolida namoyish etamiz. 
Bu yechimni (9) darajali qator ko‘rinishida ifodalab va bu qatorni hadlab 
differensiallab, berilgan tenglamaga ko‘ra ushbu tenglikni hosil etamiz: 

---













)
(
2
1
0
1
2
1




n
n
n
n
x
C
x
C
C
x
x
nC
x
C
C
 

















1
2
1
0
1
2
1
2
n
n
n
n
x
C
x
C
x
C
x
nC
x
C
C
. 
Bu yerdan 
C
1
=0 va
 
qolgan koeffitsiyentlar uchun ushbu tengliklarga ega 
bo‘lamiz: 

,
4
,
3
,
2
,
2




n
C
nC
n
n
. 
Bu tengliklardan birin-ketin 
C
n
 koeffitsiyentlarni topib, ular uchun 
)
,
3
,
2
,
1
(
1
2
,
0
,
2
,
!
)!
2
(
)
1
(
0











m
m
n
m
n
m
C
C
m
n
 
formulaga ega bo‘lamiz. Demak, berilgan I tartibli differensial tenglama 
umumiy yechimi 













0
2
0
2
6
4
2
0
!
)!
2
(
)
1
(
)
!
)!
2
(
)
1
(
!
!
6
!
!
4
!
!
2
1
(
k
k
k
m
m
k
x
C
m
x
x
x
x
C
y


(11) 
darajali qator orqali ifodalanishini ko‘ramiz. Bu yerda 
C
0
 ixtiyoriy chekli sonni 
ifodalaydi. Dalamber alomati yordamida (11) qator (–∞, ∞) oraliqda 
yaqinlashuvchi ekanligini o‘quvchi mustaqil ravishda tekshirib ko‘rishi 
mumkin.
Yuqorida ko‘rib o‘tilgan 
f
(
x
)
=e
x
funksiyaning Makloren qatorida 
x 
o‘zgaruvchini –
x
2
/2 bilan almashtirib
















0
2
0
2
0
2
2
/
!
)!
2
(
)
1
(
!
2
)
1
(
!
)
2
/
(
2
k
k
k
k
k
k
k
k
k
x
k
x
k
x
k
x
e
 
natijani olamiz. Bundan foydalanib (10) differensial tenglamaning (11) umumiy 
yechimini 
2
/
0
2
x
e
C
y


 ko‘rinishda bo‘lishini topamiz. 
Darajali qator yordamida Koshi masalasini ham yechish mumkin. Bunda 
yechim 













n
n
x
x
n
x
y
x
x
x
y
x
x
x
y
x
y
y
)
(
!
)
(
)
(
!
2
)
(
)
(
!
1
)
(
)
(
0
0
)
(
2
0
0
0
0
0
ko‘rinishdagi darajali qator ko‘rinishida topiladi. Bu qatordagi 
x
0
va 
y
(
n
)
(
x
0
) , 
n
=0,1,2,∙∙∙ , Koshi masalasining boshlang‘ich shartlari va differensial tenglama 
orqali birin-ketin aniqlanadi. Misol sifatida 
0
)
0
(
,
2




y
y
x
y
(12) 
Koshi masalasi yechimini darajali qator yordamida topamiz. Dastlab 
boshlang‘ich shart va berilgan differensial tenglamadan 
0
)
0
(
2
0
)
0
(
,
0
)
0
(





y
y
y
 
ekanligini ko‘ramiz.
Endi berilgan tenglamani ikkala tomonini differensiallab va oldingi 
natijalardan foydalanib, 
1
)
0
(
2
1
)
0
(
2
1
)
2
(













y
y
y
y
x
y
 
ekanligini topamiz. Xuddi shunday tarzda davom ettirib, 
2
)
(
2
)
4
(
)
2
(
)
0
(
,
,
)
2
(
)
0
(
2
)
0
(
,
2
)
0
(
2
)
0
(














n
n
y
y
y
y
y

 
natijalarga erishamiz. Demak, (12) Koshi masalasining yechimi 

---
















2
2
5
3
4
2
3
2
!
4
)
2
(
)
1
(
!
2
)
1
(
!
5
2
!
4
2
!
3
2
!
2
k
k
k
n
n
n
k
x
n
x
x
x
x
x
y


(13) 
darajali qator orqali ifodalanadi. Bu darajali qator ham (–∞, ∞) oraliqda 
yaqinlashuvchi ekanligini ko‘rsatish qiyin emas. 
 
f
(
x
)
=e
x
funksiyaning Makloren qatorida 
x 
o‘zgaruvchini –
x
/2 bilan 
almashtirishdan hosil bo‘ladigan darajali qatordan foydalanib, (13) yechimni 
)
2
1
(
4
1
2
x
e
y
x




 
ko‘rinishda ifodalash mumkin. Bu o‘quvchiga mustaqil ish sifatida havola 
etiladi. 
XULOSA 
Darajali qatorlar, jumladan Makloren qatorlari juda ko‘p amaliy tatbiqlarga ega. 
Bularga misol sifatida darajali qatorlar yordamida turli taqribiy hisoblashlarni 
bajarish, limitlarning qiymatini aniqlash, murakkab funksiyalardan olingan 
integrallarni hisoblash, elementar bo‘lmagan funksiyalarni ifodalash, differensial 
tenglamalar va ular uchun Koshi masalasini yechish kabilarni ko‘rsatish mumkin.
Darajali qatorlar nazariy tadqiqotlarda ham keng qo‘llaniladi. Masalan, binomning 
natural darajalari uchun topilgan natija Nyuton tomonidan binomial qator 
ko‘rinishida ixtiyoriy daraja uchun umumlashtirildi.