|
binomial integral
deb ataladigan va
dx
bx
a
x
p
s
r
I
p
s
r
)
(
)
,
,
(
ko‘rinishda bo‘lgan integrallarni qaraymiz. Bunda
r
,
s
,
p
– ratsional va
a
,
b
– haqiqiy sonlarni
ifodalaydi. Agar
r
,
s
,
p
sonlarning uchalasi ham butun son bo‘lsa, unda integral ostida ratsional
funksiya hosil bo‘ladi va bu holda binomial integral elementar funksiyalarda ifodalanadi. Agar
r
,
s
,
p
sonlardan kamida bittasi butun bo‘lmasa, unda binomial integral ostida irratsional funksiya hosil
bo‘ladi. Bunda binomial integral faqat quyidagi uch holda elementar funksiyalarda ifodalanishi
mumkinligi buyuk rus matematigi P.L.Chebishev(1821-1894 y.) tomonidan isbotlangan:
1)
p
–butun son. Bu holda
m
m
t
x
x
t
,
almashtirma (
m
– integral ostidagi
r
va
s
sonlarning
umumiy maxraji) bajaramiz. Agar
r=k/m
,
s=q/m
deb olsak, unda
dt
mt
dt
dx
t
x
t
x
m
m
q
s
k
r
1
,
,
bo‘ladi va binomial integral
dt
bt
a
t
m
p
s
r
I
p
q
m
k
)
(
)
,
,
(
1
ko‘rinishni olib, ratsional funksiyadan olingan integralga keladi.
n
=(
r
+1)/
s –
butun son . Bu holda
p
=
k/m
bo‘lsa, unda
a+bx
s
=t
m
almashtirmadan foydalaniladi.
Bunda
dt
t
b
a
t
bs
m
dx
b
a
t
x
t
bx
a
m
s
m
s
r
m
r
k
p
s
1
1
1
,
,
)
(
bo‘lib, binomial integral quyidagi ratsional kasrli integralga keladi:
dt
t
a
t
s
b
m
p
s
r
I
m
k
n
m
n
1
1
)
(
)
,
,
(
.
2)
n=p
+(
r
+1)/
s
– butun son. Bu holda
p
=
k/m
bo‘lsa, unda
ax
–s
+b=t
m
almashtirma
qo‘llaniladi. Bunda
,
)
(
)
(
,
1
k
p
m
p
s
ps
p
s
s
m
t
b
t
a
b
ax
x
bx
a
b
t
a
x
dt
b
t
t
b
t
a
s
ma
dx
b
t
a
x
m
m
s
m
s
r
m
r
2
1
1
1
)
(
,
bo‘ladi va binomial integral quyidagi ratsional kasrli integralga keladi:
dt
b
t
t
s
ma
p
s
r
I
n
m
m
k
n
1
1
)
(
)
,
,
(
.
dx
x
x
x
R
I
s
r
n
m
)
,...,
,
(
ko‘rinishdagi integrallarni qaraymiz. Bunda
R
orqali unga
kiruvchi
x
,
x
m
/
n
,...,
x
r/s
o‘zgaruvchilarga nisbatan faqat ratsional amallar bajarilishi ifodalangan va
m
,
n
, ...,
r
,
s
–natural sonlardir. Bu integralni hisoblash uchun unda qatnashuvchi kasr daraja
ko‘rsatkichlarining
k
umumiy maxrajini topamiz va
dt
kt
dx
t
x
k
k
1
,
almashtirma bajaramiz. Bu
holda
x
,
x
m
/
n
,...,
x
r/s
kasr ko‘rsatkichli darajalar yangi
t
o‘zgaruvchining butun darajalari orqali
ifodalanadi va natijada
dt
t
R
I
)
(
1
ratsional kasrli integralni hosil etamiz. Bu integralni hisoblab va
olingan natijada
t=x
1/
n
deb, berilgan aniqmas integralni topamiz.
dx
d
сх
b
ах
d
сх
b
ax
x
R
I
s
r
n
m
)
(
,...,
)
(
,
ko‘rinishdagi integralni qaraymiz By yerda
R
,
m
,
n
,
s
,
r
uchun oldingi integralda qo‘yilgan shartlar saqlanadi. Kasrdagi
a
,
b
,
c
va
d
haqiqiy sonlar uchun
a
/
b
≠
c
/
d
shartni qo‘yamiz, chunki bu shart bajarilmasa
d
b
d
x
d
c
x
b
a
d
b
d
cx
b
ax
1
bo‘ladi va integraldagi irratsionallik yo‘qoladi.
Agar
m
/
n
, … ,
r
/
s
kasrlarning umumiy maxraji
k
bo‘lsa, bu integralni hisoblash uchun
k
к
d
сх
b
ax
t
t
d
сх
b
ax
,
almashtirma bajaramiz. Bu holda
dt
a
ct
bc
ad
mt
dx
a
ct
dt
b
x
m
m
m
m
2
1
)
(
)
(
,
,
ya’ni
x
va
dx
yangi
t
o‘zgaruvchi orqali ratsional ifodalanadi. Shu sababli yuqoridagi almashtirma
natijasida berilgan integral uchun
dt
t
R
I
)
(
1
ratsional funksiyaning integraliga ega bo‘lamiz. Bu
integralni hisoblab va hosil bo‘lgan natijada
t
o‘rniga uning yuqoridagi ifodasini qo‘yib, berilgan
I
integral javobini topamiz.
4.2.
Eyler almashtirmalari.
Shu bobning boshida (§2, 2.5. ga qarang) kvadrat uchhad
qatnashgan integrallarni ayrim xususiy hollarda hisoblash masalasini ko‘rib o‘tgan edik. Endi bu
masalani nisbatan umumiyroq bo‘lgan
)
0
(
)
,
(
2
a
dx
с
b
х
ax
x
R
IE
ko‘rinishdagi integrallar uchun qaraymiz. Bunday irratsional ifodali integrallar shveysariyalik
buyuk matematik L. Eyler (1707-1783 y.) tomonidan taklif etilgan almashtirmalar yordamida
ratsional kasrli integralga keltiriladi va hisoblanadi. Bu yerda uch hol qaraladi.
I hol.
Bunda ko‘rilayotgan
IE
integralda
а
>0 deb olinadi. Bu holda integralda
x
o‘zgaruvchidan yangi
t
o‘zgaruvchiga
Eyl
е
rning I alshmashtirmasi
dеb ataladigan va
t
а
x
с
b
х
ах
с
b
х
ах
а
x
t
2
2
ko‘rinishda bo‘lgan almashtirma orqali o‘tiladi. Bu holda IE integraldagi
x
,
c
bx
ax
2
va
dx
yangi
t
o‘zgaruvchi orqali ratsional kasr ko‘rinishida ifodalanadi. Demak, qaralayotgan
IE
integral
ratsional kasrli integralga keltirilib, ko‘zlangan maqsadga erishildi.
II hol.
Endi
c
>0 bo‘lsin. Bu holda
IE
integralni hisoblash uchun ushbu
Eylerning II
almashtirmasidan
foydalanamiz:
c
х
t
с
b
х
ax
2
.
Bu almashtirma natijasida ratsional kasrli integralga kelamiz
III hol.
Qaralayotgan
IE
integral ostidagi
с
b
х
ах
2
kvadrat uchhad
va
haqiqiy ildizlarga ega,
ya’ni diskriminant
D=b
2
–4
ac
>0 bo‘lsin. Bu holda
t
х
с
b
х
ах
)
(
2
ko‘rinishdagi
Eyl
е
rning III almashtirmasidan
foydalanib, integral ostidagi ifodani ratsional kasr
ko‘rinishiga keltiramiz.
4.3.
Trigonometrik ifodali integrallar.
Bu yerda biz trigonometrik funksiyalar qatnashgan
dx
x
x
R
IT
)
cos
,
(sin
ko‘rinishdagi integrallarni qaraymiz. Bunda
R
(sin
x
,cos
x
) ifoda sin
x
va cos
x
ustida faqat arifmetik
amallar bajarilgan ifodani belgilaydi. Bu integral
t
x
tg
2
almashtirma yordami bilan hamma vaqt
ratsional kasrning integraliga keltirilishi mumkinligini ko‘rsatamiz. Haqiqatan ham
2
2
2
2
2
1
2
2
1
2
2
2
cos
2
sin
2
cos
2
sin
2
1
2
cos
2
sin
2
sin
t
t
x
tg
x
tg
x
x
x
x
x
x
x
,
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
2
sin
2
cos
2
sin
2
cos
1
2
sin
2
cos
cos
t
t
x
x
x
x
x
x
x
va
2
1
2
2
2
2
t
dt
t
d
dx
t
x
t
x
arctg
,
arctg
arctg
ekanligidan sin
x,
cos
x, x, dx
kiritilgan
t
orqali ratsional ifodalanadi. Shu sababli
t
=tg(
x
/2)
Do'stlaringiz bilan baham: |
