Microsoft Word Олий матем 2-cem. Ma'Ruza маътинлари docx

2.1.
 
Yoyish usuli.
Bu usulda dastlab berilgan integral ostidagi murakkabroq 
f
(
x
) funksiya 
soddaroq (masalan, integrallari bevosita jadval orqali topiladigan) 
f
k
(
x
) (
k
=1,2,…,
n
) funksiyalarning 
chiziqli kombinatsiyasiga yoyiladi. So‘ngra bu chiziqli yoyilma integrali oldingi paragrafda 
ko‘rilgan integralning chiziqlilik xossalaridan foydalanilib hisoblanadi. Bu usulni matematik 
ko‘rinishda quyidagicha ifodalash mumkin: 













dx
x
f
A
dx
x
f
A
dx
x
f
A
dx
x
f
A
x
f
A
x
f
A
dx
x
f
n
n
n
n
)
(
)
(
)
(
)]
(
)
(
)
(
[
)
(
2
2
1
1
2
2
1
1


(1) 
Misol sifatida
 
bu usulda quyidagi integrallarni hisoblaymiz: 

---



 










2
2
2
2
5
7
)
1
5
7
(
1
5
7
x
dx
dx
x
dx
dx
х
х
dx
х
х
х
C
х
x
x



1
5
ln
7
; 










dx
x
dx
x
x
dx
x
x
dx
x
)
1
cos
1
(
cos
cos
1
cos
sin
2
2
2
2
2
2
tg






C
x
x
dx
dx
x
tg
2
cos
1
; 
 














]
[
2
1
]
1
1
[
2
1
2
2
a
x
dx
a
x
dx
a
dx
a
x
a
x
a
a
x
dx
C
a
x
a
x
a
C
a
x
a
x
a








ln
2
1
]
ln
[ln
2
1
. 
Bu asosiy integrallar jadvalidagi 17-integral ekanligini eslatib o‘tamiz. 
2.2.Diffеrеnsial belgisi ostiga kiritish usuli.
Bu usul aniqmas integralning ushbu 
invariantlik xossasi
orqali amalga oshiriladi: 







.
)
(
)
(
)
(
)
(
C
u
F
du
u
f
C
x
F
dx
x
f
(2) 
Bu tenglik differensialning invariantlik xossasidan [VII bob,§4, (5)] kelib chiqadi va unda 
u=u
(
x
) ixtiyoriy diffеrеntsiallanuvchi funksiyani ifodalaydi. Shunday qilib, integrallash 
o‘zgaruvchisi 
x
biror diffеrеntsiallanuvchi 
u=u
(
x
) funksiya bilan almashtirilsa, integral javobida 
ham 
x
o‘rniga 
u=u
(
x
) funksiya qo‘yiladi. 
Ko‘p hollarda bu usulni qo‘llash uchun dastlab integral ostidagi funksiyaning bir qismi 
differensial ostiga kiritiladi va integral kerakli ko‘rinishga keltiriladi. Misol sifatida quyidagi 
integrallarni hisoblaymiz. 









C
x
C
u
udu
x
u
x
xd
2
ln
2
)
ln
(
ln
ln
2
2
 
. 










)
4
(
)
4
(
)
4
(
)
4
(
99
99
x
u
x
d
x
dx
х
C
x
C
u
du
u






100
)
4
(
100
100
100
99
. 
Bu yerda 
dx
=
d
(
x
+4) ekanligidan foydalandik. 









)
cos
(
cos
cos
cos
sin
x
u
x
x
d
x
xdx
xdx
tg
C
x
C
u
u
du








cos
ln
ln
.
Bu asosiy integrallar jadvalidagi 13-integral javobining isbotini ifodalaydi. 
Bu usul yordamida quyidagi ko‘rinishdagi integrallarni ham hisoblash mumkin: 






C
x
f
x
f
x
df
x
f
dx
x
f
)
(
ln
)
(
)
(
)
(
)
(
,






C
x
f
x
f
x
df
x
f
dx
x
f
)
(
2
)
(
)
(
)
(
)
(
. 
2.3.O‘zgaruvchilarni almashtirish usuli.
Bu usulda berilgan 

dx
x
f
)
(
integraldagi “eski” 
x 
o‘zgaruvchidan “yangi”
t
o‘zgaruvchiga biror
х
=

(
t
) funksiya orqali o‘tamiz. Bunda 

(
t
) funksiya 
almashtirma
deb ataladi va u differensiallanuvchi, hosilasi uzluksiz hamda teskari funksiyasi 
t
=

 
–
1
(
x
) mavjud deb olinadi. Bu holda






dt
t
t
f
t
d
t
f
dx
x
f
)
(
)]
(
[
)
(
)]
(
[
)
(




(3) 
tenglik (o‘zgarmas son aniqligida) o‘rinli bo‘ladi. Bunda tenglikning o‘ng tomonidagi integral 
hisoblangandan keyin, 
t
o‘zgaruvchi o‘rniga 
t
=

 
–1
(
x
) qo‘yilib, berilgan integral javobi olinadi. 
Yuqoridagi (3) tenglikni o‘rinli ekanligini isbotlash uchun uning har ikki tomonining 
hosilalari o‘zaro tеng ekanligi ko‘rsatish kifoya. Bunda, oldingi paragrafda ko‘rsatilgan aniqmas 
integralning I xossasiga asosan, chap tomondagi integral hosilasi integral ostidagi 
f
(
x
) funksiyaga 
teng bo‘ladi. O‘ng tomondagi integralda 
t
=

 
–1
(
x
) bo‘lgani uchun u 
x
o‘zgaruvchining murakkab 
funksiyasi bo‘ladi. Shu sababli murakkab funksiyani differensiallash qoidasi va teskari funksiya 
hosilasi formulasiga asosan 











dx
dt
dt
t
t
f
dt
t
t
f
t
x
)
)
(
)]
(
[
(
)
)
(
)]
(
[
(




)
(
)]
(
[
)
(
1
)
(
)]
(
[
x
f
t
f
t
t
t
f










natijani olamiz. Demak, haqiqatan (3) tenglikning ikkala tomoni bir xil 
f
(
x
) hosilaga ega va shu 
sababli u o‘rinlidir. 
Berilgan integralni (3) tenglik yordamida hisoblash 
o‘zgaruvchilarni almashtirish usuli
deb 
ataladi. Agar (3) tenglikda 
f 
[

(
t
)]∙

 
′(
t
)=
g
(
t
) deb belgilasak, unda o‘zgaruvchilarni almashtirish 
usulida 
f
(
x
) funksiyani integrallash masalasi 
g
(
t
) funksiyani integrallash masalasiga keladi. Ayrim 
hollarda 
х
=

(
t
) yoki 
t
=

 
–1
(
x
) almashtirmani shunday tanlash mumkinki, 
g
(
t
) funksiya oson 
integrallamadi. Bu almashtirmani tanlash berilgan integral ko‘rinishiga qarab amalga oshiriladi va 
integral hisoblovchini mahorati va tajribasiga bog‘liq bo‘ladi. 

---

O‘zgaruvchilarni almashtirish usuliga misol sifatida ushbu integrallarni hisoblaymiz. 























t
t
tdt
tdt
dx
t
x
t
x
t
x
x
x
dx
)
4
(
2
2
,
4
4
,
4
4
2
2
2














C
x
x
C
t
t
t
dt
2
4
2
4
ln
2
1
2
2
ln
2
2
1
2
2
2
2
2
 
 



















2
2
2
2
2
)
(
,
/
,
)
0
(
a
t
a
adt
adt
at
d
dx
a
x
t
at
x
a
a
x
dx
C
a
x
a
C
t
a
t
dt
a






arctg
arctg
1
1
1
1
2
.
 
Xuddi shunday tarzda 




C
a
x
x
a
dx
arcsin
2
2
 
ekanligini ko‘rsatish mumkin. Bu natijalar asosiy integrallar jadvaldagi 15-16 integrallarni 
umumlashtiradi. 
2.4.
 
Bo‘laklab integrallash usuli.
 
Faraz qilaylik, 
u=u
(
x
) va
v
=
v
(
x
) funksiyalar 
diffеrеntsiallanuvchi funksiyalar bo‘lsin. Bu funksiyalar ko‘paytmasining diffеrеntsialini yozamiz: 
udv
vdu
uv
d


)
(
. 
Bu yerdan 
vdu
uv
d
udv


)
(
tenglikka ega bo‘lamiz. Bu tеnglikning ikkala tomonini hadma-had integrallab, quyidagi natijani 
hosil qilamiz: 





vdu
uv
d
udv
)
(
. 
Bu yerdan, integralning oldingi paragrafda ko‘rsatilgan IV xossasiga asosan, ushbu formulaga ega 
bo‘lamiz:




vdu
uv
udv
. (4) 
Bu natija