Mexanikada saqlanish qonunlari

6 -§. Fazo va vaqt simmetriya xossalari bilan saqlanish qonunlari orasidagi bog’lanish.

1. Yuqorida keltirilgan impuls va impuls momentining saqlanish qonunlarini (1-§ ga qarang) keltirib chiqarishda biz Nyutonning ikkinchi, hamda uchinchi qonunlaridan foydalanib olingan impuls (2.20) va impuls momentining (4.20) o'zgarish qonunlariga asoslandik. Nyutonning uchinchi qonunigaasosan biz ichki kuchlarning yig’indisini va bu kuchlar momentlarining yig’indisini ham nolga teng deb hisobladik. Lekin bu munosabatlarni Nyuton qonunlariga murojaat qilmasdan, fazoning bir jinslilik va izotroplik xossalariga asoslanib ham olish mumkinligi ma'lum bo'ldi. Boshqacha aytganda, impuls va impuls momentining saqlanish qonunlarini faqat birgina dinamikaning asosiy qonuniga (Nyutonning ikkinchi qonuni) va ko'rsatib o'tilgan fazoning simmetriya xossasiga tayanib keltirib chiqarish mumkin. Impulsning saqlanishqonunifazoning bir jinsliligi bilan, impuls momentini saqlanishqonuniesa fazoning izotropligi bilan bog’liqligi haqidagi fikrni xuddi shunday ma'noda tushunish kerak.

2. Fazoning bir jinsliligi, harakat qonunlarini va yopiq sistema fizik xossalarini inersial sanoq sistemasi koordinata boshining tanlanishiga bog’liq emasligida namoyon bo'ladi. Boshqacha aytganda agar yopiq sistemani fazoda butun holicha parallel ko'chirish yo'li bilan qayta qo'yilsa, ya'ni sistemaning qismlarining o'zaro joylashishi va sharoiti ko'chirilguncha qanday bo'lsa to’liq o'shanday saqlansa, harakat qonunlari va sistemaning fizik xossalari o'zgarmaydi. Xususan, sistemani butun holicha ixtiyoriy kichik dr masofaga siljitganda sistemadagi barcha kuchlarning ishi dA nolga teng bo'lishi kerak. Yopiq sistemada faqat ichki kuchlar ta'sir etgani uchun

bo'ladi.
Madomiki, dr ¹ 0 ekan, hamma ichki kuchlarning yig’indisi nolga teng bo'lishi kerak:

Bu munosabatdan va Nyutonning ikkinchi qonunidan olingan (2.15) tenglamadan yopiq sistema impulsining saqlanish qonuni kelib chiqadi.

3. Fazoning izotropligi, yopiq sistemaning fazoda butun holicha ixtiyoriy burchakka burganda uning harakat qonunlarini va fizik xossalarini o'zgarmasligida, ya'ni inersial sanoq sistemasi koordinata o’qlari yo'nalishlarini tanlashga bog’liq emasligida namoyon bo'ladi. Xususan, yopiq sistema to’liq holicha qo’zg’almas 0 nuqta- koordinata boshi atrofida ixtiyoriy kichik dj burchakka burilganda sistemada ta'sir etuvchi hamma kuchlarning ishi nolga teng bo'lishi kerak. Agar М_ik = [r_i F_ik] – F kuchning 0 nuqtaga nisbatan momenti, r_i - esa 0 nuqtadan sistemaning i-nchi nuqtasiga o'tkazilgan radius-vektor bo'lsa, (4.39) ga binoan

bo'ladi. Modomiki shunday ekan, 0 nuqtaga nisbatan hamma ichki kuchlar momentlarining yig’indisi ham nol bo'lishi kerak:

Bu munosabatdan va Nyutonning ikkinchi qonuniga asoslanib olingan (4.18) tenglamadan yopiq stistema impuls momentining saqlanish qonunikelib chiqadi.
4. Mexanik energiyaning saqlanish qonuni va qtning bir jinsliligi bilan bog’liq ekanini ko'rsatamiz. Vaqtning bir jinsliligi shunda namoyon bo'ladiki, yopiq sistemaning harakat qonunlari vaqtning xisob boshini tanlanishiga bog’liq emas: agar vaqtning ixtiyoriy ikki momentida yopiq sistemani mutloqo bir xil sharoitga qo'yilsa, shu vaqt momentlaridan boshlab sistemadagi barcha jarayonlar mutloqo bir xil o'tadi. Vaqtning bir jinsliligidan yopiq sistemaning potensial energiyasi vaqtga aniq bog’liq bo'laolmasligi kelib chiqadi, ya'ni sistema konfiguratsiyasi o'zgarmas bo'lgan sharoitda vaqt o'tishi bilan o'zgaradi:
.
Shuning uchun, agar sistemada nopotensial kuchlar ta'sir etmasa yoki bu kuchlar ish bajarmasa (dА^нnк=0), Nyutonning ikkinchi qonunidan kelib chiquvchi (3.37) tenglamaga binoan, bunday yopiq sistemaning (yopiq konservativ sistema) mexanik energiyasi vaqt o'tishi bilan o'zgarmaydi. Bu xulosani tashqi statsionar potensial maydonda joylashgan sistemaga oson qo'llash mumkin, chunki bu holda vaqtning bir jinsliligidan (35) shartning to’g’riligi kelib chiqadi.
Pirovordida vaqtning o'tish yo'nalishi - uning ortib yoki kamayib borishiga nisbatan klassik mexanika simmetriyasi haqida gapirish kerak. Bu mexanika qonunlari t o'zgaruvchini, - t ga almashtirishga nisbatan invariantligidan rasman kelib chiqadi.
Aslida Nyuton mexanikasining hamma tenglamalari Nyutonning ikkinchi qonuniasosida kelib chiqadi:

Agar t ni t¢ = - t ga, p ni p¢ = - p ga, ya'ni vaqt o'tish yo'nalishini, hamda moddiy nuqta harakat yo'nalishini teskari yo'nalishiga o'zgartirsak, bu tenglama o'zining ko'rinishini to’liq saqlaydi:

Klassik mexanika tenglamasining bu simmetriyasi mexanik jarayonlarning qaytuvchanligidan dalolat beradi: agar sistema kuch ta'sirida qandaydir harakat qilayotgan bo'lsa, u o'shanday kuch ta'sirida teskari yo'nalishda ham harakat qilishi mumkin, bunda sistema o'sha oraliq konfiguratsiyalar orqali teskari tartibda o'tadi.