Mexanik sistema va moddiy nuqta dinamikasining umumiy teoremalari

O`qqa nisbatan inertsiya momenti. Inertsiya radiusi.

Jism (sistema)ning berilgan Oz o`qqa nisbatan inertsiya momenti deb, jism (sistema)ning barcha nuqtalarining massalarini shu o`qqacha bo`lgan masofalar kvadratlariga ko`paytmalarining yig`indisiga teng bo`lgan, skalyar qiymatga aytiladi: J_z=m_k (2)
Yuqoridagi ifodaga asosan, jism (yoki sistema)ning ixtiyoriy o`qqa nisbatan inertsiya momenti, faqat musbat qiymatdan iborat bo`lib, hech qachon nolga teng bo`lmaydi.
Ilgarilanma harakatlarda jismning inertlik xususiyatini uning massasi qanday belgilagan bo`lsa, aylanma harakatdagi jismning inertlik xususiyatini o`qqa nisbatan inertsiya momenti belgilaydi, ya`ni o`qqa nisbatan inertsiya momenti aylanma harakatdagi jismning inertlik o`lchovi bo`lib xizmat qiladi.
(2) formulaga asosan, jismning inertsiya momenti, uning barcha qismlarining o`sha o`qqa nisbatan inertsiya momentlarining yig`indisiga teng ekan. Aylanish o`qidan h -masofada joylashgan moddiy nuqtaning inertsiya momenti, Jz=mh<sup>2</sup> -ga teng bo`ladi. SI sistemasida inertsiya momentining o`lchov birligi 1 kgm<sup>2</sup> (MKGSS sistemasida -1 kgms<sup>2</sup>).
O`qqa nisbatan inertsiya momentlarini hisoblash uchun, o`qlardan sistemaning nuqtalarigacha bo`lgan masofalarni ularning x_k, y_k, z_k koordinatalari (masalan, nuqtadan Ox o`qigacha bo`lgan masofaning kvadrati + ) orqali ifodalanadi. U holda, Oxyz o`qlariga nisbatan inertsiya momentlari quyidagi formulalar orqali ifodalanadi:
J<sub>x</sub>= m<sub>k</sub>( + ), J<sub>y</sub>= m<sub>k</sub>( + ), J<sub>z</sub>= m<sub>k</sub>( + ). (3)
Aksariyat, hisoblash ishlarida inertsiya radiusi degan iboradan foydalaniladi. Oz o`qiga nisbatan inertsiya radusi _z deb, quyidagi musbat skalyar ifodaga aytiladi: J_z=M (4) bu erda M - jismning massasi. Yuqoridagi ifodadan ko`rinib turibdiki, inertsiya radiusi bu Oz o`qidan shunday nuqtagacha bo`lgan masofadan iborat ekanki, jismning butun massasini shu nuqtaga joylashtirib, so`ngra shu massaning Oz o`qiga nisbatan olingan inertsiya momentiga teng ekan.
Inertsiya radiusini bilgan holda, (4) formula orqali inertsiya momentini aniqlash mumkin yoki inertsiya momentini bilgan holda inertsiya radiusini aniqlash mumkin.
(2) va (3) formulalar, qattiq jism uchun ham, moddiy nuqtalarning ixtiyoriy sistemalari uchun ham o`rinlidir. Agar jism yaxlit bo`lsa, uni elementar bo`lakchalarga ajratib yuboriladi, har bir elementar qismlarning inertsiya momentlari (2)-ning yig`indisining limiti integralga aylanadi. Hamda dmhdV, bu erda -jismning zichligi, V-jismning umumiy hajmi ekanligini e`tiborga olsak, natijada: J_z= yoki J_z= (5) Bu yerdagi integral jismning butun hajmi bo`yicha olinadi, lekin  -zichlik va h - masofa, har bir nuqtaning koordinatasiga bog`liq ravishda o`zgaradi. YAxlit jismlarning o`qqa nisbatan inertsiya momentlari (3) ham, xuddi shu kabi ifodalanadi: J_ch= va h . (5`). Bir jinsli to`g`ri shakldagi jismlarning inertsiya momentlarini hisoblashda (5) va (5`) formulalar juda katta qulayliklar tug`diradi. Hamda jismning zichligi o`zgarmas qiymat bo`lganligi sababli integral ostidan chiqarib yuboriladi. Bir jinsli bahzibir jismlarning inertsiya momentlarini aniqlaymiz.
1. Massasi M va uzunligi l -bo`lgan bir jinsli ingichka sterjen berilgan bo`lsin. Shu sterjenning o`qiga perpendikulyar bo`lib, uning A uchidan o`tuvchi Az o`qqa nisbatan inertsiya momenti aniqlansin (275 shakl). AV sterjen bo`ylab, Ax o`qini o`tkazamiz. U holda uzunligi dx bo`lgan ixtiyoriy elementar kesmaning Az o`qigacha bo`lgan masofasi hhx, va massasi dmh₁dx, bu erdagi ₁hM/l - sterjenning uzunlik birligining massasi. Bularni e`tiborga olib (5) formula orqali<sup>1</sup>: J<sub>A</sub>= dm=<sub>1</sub> dx= <sub>1</sub>l<sup>3</sup>/3. Bu ifodadagi <sub>1</sub> -ning qiymatini o`rniga qo`ysak: J<sub>a</sub>=Ml<sup>2</sup>/3 (6) bo`ladi.
2. Massasi M va radiusi R -ga teng bo`lgan bir jinsli ingichka halqa. Bu jismning halqa tekisligiga perpendikulyar 275 shakl 276 shakl 277 shakl. bo`lgan va uning geometrik markazi S nuqtadan o`tuvchi C<sub>z</sub> o`qiga nisbatan inertsiya momentini hisoblaymiz (276 shakl). Halqaning barcha nuqtalari Cz o`qidan bir xil h<sub>k</sub>hR masofada joylashgan ekanliklari sababli, (2) formula orqali quyidagini yozamiz: J<sub>C</sub>=m<sub>k</sub>R<sup>2</sup>=(m<sub>k</sub>)R<sup>2</sup>=MR<sup>2</sup> Demak, halqaning Cz o`qiga nisbatan inertsiya momenti: J_C=MR² (7) Massasi M, radiusi R-ga teng bo`lgan tsilindrsimon yupqa yuzaning o`qidan o`tuvchi o`qqa nisbatan inertsiya momenti uchun ham, shu formuladan foydalaniladi.
3. Massasi M, radiusi R-ga teng bo`lgan doiradan iborat plastina yoki tsilindr.
Doiraviy plastinaning uning markazidan o`tuvchi va doira tekisligiga perpendikulyar bo`lgan Sz -o`qqa nisbatan inertsiya momentini aniqlaymiz (276 shakl). Doiradan eni dr-ga teng va radiusi r -bo`lgan halqa ajratib olamiz (277, a shakl). Ushbu halqaning yuzasi 2rdr, massasi dmh<sub>z</sub>2rdr bu erdagi <sub>z</sub>=M/r<sup>2</sup>- plastina yuza birligining massasi. U holda ajratilgan elementar halqa uchun (7) formula orqali inertsiya momenti dJ<sub>C</sub> hr<sup>2</sup>dmh2<sub>z</sub>r<sup>3</sup>dr bo`ladi va butun halqa uchun aniqlaymiz: J_C=2_z rdr=_zR⁴/2, _z—ning qiymatini keltirib qo`ysak, J<sub>C</sub>=MR<sup>2</sup>/2 (8). Massasi M, radiusi R -bo`lgan bir jinsli doiraviy tsilindrning J_z -o`qqa nisbatan inertsiya momenti ham shu formula orqali hisoblanadi (277, b shakl).
4. To`g`ri burchakli plastina, konus va shar. Keltirib chiqarishga oid hisoblash ishlarini bajarmasdan quyidagi jismlarning inertsiya momentlarini bevosita keltiramiz (bularni talalabalarning o`zlari keltirib chiqarishlari mumkin, yoki maxsus spravochniklardan aniqlab olishlari ham mumkin).
a) Massasi M, tomonlari AV=a va BD=b (x-o`qi AV bo`yicha yo`naltirilgan, u -o`qi BD bo`yicha yo`naltirilgan) bo`lgan to`g`ri burchakli yaxlit plastina ning inertsiya momenti: J_x=Mb³/3, J_y=Ma³/3;
b) Massasi M, asosining radiusi R bo`lgan yaxlit to`g`ri konusning inertsiya momenti (z o`qi konusning o`qi bo`ylab yo`nalgan): J<sub>z</sub>=0,3MR<sup>2</sup>
v) Massasi M, radiusi R bo`lgan yaxlit sh a r (z o`qi sharning diametri bo`ylab yo`nalgan) J_z=0,4MR²

1^ Бу ерда ва бундан кейин J_A орыали, А нуытадан щтувчи ва жисмнинг текислигидаги кесимига перпендикуляр бщлган щыыа нисбатан инерция моментини белгилайди.