Mexanik sistema va moddiy nuqta dinamikasining umumiy teoremalari

Sistemaning massasi. Massalar markazi.

Mexanik sistemaning harakati, unga ta`sir etuvchi kuchlardan tashqari, sistemaning umumiy massasi va massalarning qanday tarqalganligiga ham bog`liq bo`ladi. Sistemaning massasi (M yoki m -harflari orqali ifodalanadi), sistemani tashkil etuvchi nuqtalar yoki jismlarning massalarini arifmetik yig`indisiga teng bo`ladi: M=m_k

Massalarning tarqalganligi, sistemaning har bir nuqtasining massasi m_k, va shu massalarning o`zaro qanday joylashgan ekanlikligiga, ya`ni ularning x_k, y_k, z_k koordinatalariga bog`liq holda aniqlanadi. Lekin biz quyida ko`rib o`tadigan dinamikaga oid, aniqrog`i qattiq jism dinamikasiga oid masalalarni echishda, har bir nuqtaning massasi m_k va ularning koordinatalari x_k, y_k, z_k orqali emas, balki ularni xarakterlovchi umumiy ifodalar orqali amalga oshiriladi.
Ulardan biri, massalar markazining koordinatasi (sistema nuqtalari massalarining, ularning koordinatalariga ko`paytmalarining yig`indisi orqali ifodalanadi); ikkinchisi, o`qqa nisbatan inertsiya momentlari (sistema nuqtalari massalarining, ularning ikkitadan iborat koordinatalari kvadratlariga ko`paytmalarining yig`indisi orqali ifodalanadi); uchinchisi, markazdan qochma inertsiya momentlari (sistema nuqtalari massalarining, ularning ikkita koordinatalariga ko`paytmalarining yig`indisi orqali ifodalanadi). Ushbu bobda, shu xarakteristikalarni aniqlash bilan shug`ullanamiz.
M a s s a l a r m a r k a z i. Bir jinsli og`irlik kuchi maydonida, ya`ni ghconst bo`lganda, har bir zarrachaning og`irligi uning massasiga proportsional bo`ladi. SHu sababli, sistema massalarining qanday tarqalganligini uning massa markazi orqali aniqlanadi. §32 dagi og`irlik markazini aniqlashga oid bo`lgan (59) formulani, ularning massalari orqali ifodalanadigan ko`rinishga keltiramiz. Buning uchun, o`sha formuladagi r<sub>k</sub>hm<sub>k</sub>g va RhMg lar orqali ifodalaymiz, va tenglikni g -ga qisqartirib yuborsak: x<sub>C=</sub> m<sub>k</sub>x<sub>k</sub>, y<sub>C=</sub> m<sub>k</sub>y<sub>k</sub>, z<sub>C=</sub> m<sub>k</sub>z<sub>k</sub>, (1)
Olingan formulalarda, moddiy nuqta (zarracha)larni massalari -m<sub>k</sub>, va shu nuqtalarning x<sub>k</sub>, y<sub>k</sub>, z<sub>k</sub> koordinatalari ishtirok etmoqda. Shu sababli, agar m<sub>k</sub>, x<sub>k</sub>, y<sub>k</sub>, z<sub>k</sub> lar sistema nuqtalarining massalari va ularning koordinatalaridan iborat bo`lsa, haqiqatdan ham S (x_S, y_S, z_S) nuqtaning holati (o`rni) har qanday jism yoki mexanik sistemaning massalarini tarqalishini xarakterlab beradi.
Koordinatasi (1) formula orqali aniqlanadigan S nuqtaning geometrik o`rni, massalar markazi yoki mexanik sistemaning inertsiya markazi deb ataladi.
Agar, massa markazini uning radius - vektori orqali ifodalansa, u holda (1) formuladan -ni aniqlash formulasini yozamiz: = m_{k k} (1`) bu erdagi <sub>k</sub>- sistemani tashkil etuvchi nuqtalarning radius-vektorlari.
Yuqorida aniqlangan natijalarga asosan, shuni tahkidlab o`tish lozim ekanki, bir jinsli og`irlik kuchi maydonidagi qattiq jismning og`irlik markazi va massalar markazining o`rni bir joyda bo`lar ekan. Lekin, massalar markazi og`irlik markazidan mazmunan farqli bo`lib, u o`zining o`rnini har qanday kuch maydonida (masalan, markaziy tortilish maydonida) ham saqlab qoladi va massalarni tarqalganlik xarakteristikasi, faqat qattiq jism uchungina o`rinli bo`lib qolmasdan, ixtiyoriy mexanik sistema uchun ham o`rinlidir.