Mexanik sistema dinamikasi. Massalar geometriyasi

Mexanik sistema xarakatining differensial tenglamalari

Mexanik sistema N ta moddiy nuktalardan tashkil topgan bulsin. Bu sistemaning ixtiyoriy M, nuktasini olib, massasini t bilan, unga ta’sir etuvchi tashki kuchlar xamda ichki kuchlarning teng ta’sir etuvchilarini mos ravishda bilan belgilaymiz. U xolda sistema nuktalari xarakatining differensial tenglamalari Nyutonning ikkinchi konuniga binoan kuyidagicha yoziladi:


(5) ni Dekart koordinata uklariga proeksiyalab kuyidagi ZN ta tenglamalar sistemasiga ega bulamiz:

Bu tenglamalar sistemasi mexanik sistema xarakatining Dekart koordinata uklaridagi differensial tenglamalari deyiladi. Bu tenglamalarning ung tomoni umumiy xolda t vaktga xamda sistemani tashkil kiluvchi barcha nuktalarning koordinatalari va koordinatalarning vakt buyicha xosilasiga boglik buladi. Bu tenglamalar sistemasining, umumiy xolda, mexanik sistema xatto bitta nuktadan tashkil topganda xam anik echimi topilmagan. Lekin xozirgi zamon elektron xisoblash mashinalarini kullab bu tenglama-larnnng takribiy echimini juda katta aniklik bilan topish mumkin. Kupincha (6) tenglamalarda katnashuvchi ichki kuchlar xam noma’lum buladi, shu sababli masalani echish yanada murakkablashadi.


Boglanishdagn mexanik sistema xarakatining differensial tenglamalari
Agar sistema nuktalariga boglanishlar kuyilgan bulsa, u xolda boglanishlardan bushatish xakidagi aksiomaga kura, ta’sir etayotgan F aktiv kuchlar katoriga N boglanish reaksiya kuchlarini xam kushish kerak. Natijada mexanik sistemani F aktiv kuchlar va N reaksiya kuchlari ta’siridagi erkin mexanik sistema deb karaladi. Bunday sistema xarakatining differensial tenglamalari Nyutonning ikkinchi konuniga asosan kuyidagicha yoziladi:
U xolda boglanishdagi sistema xarakatining Dekart koordinata uklaridagi differensial tenglamalari kuyidagi kurinishni olad i
Bunda Xk, , Yk, Zk lar aktiv kuchlarning, lar esa reaksiya kuchlarining koordinata uklaridagi proeksiyalaridir. (8) tenglamalarda erkin sistemadan farkli ravishda ZN ta noma’lum reaksiya kuchlari xam katnashadi. SHunday kilib, boglanishdagi mexanik sistema xarakatining ZN ta differensial tenglamalarida 6N noma’lumlar katnashadi, ya’ni noma’lumlar soni tenglamalar sonidan ortik buladi. SHu sababli boglanishdagi mexanik sistemaning xarakatini aniklash uchun boglanishlar turini ifodalovchi kushimcha ma’lumotlar (masalan, ishkalanish konuni) berilgan bulishi kerak.

Sistemaning massalar markazi va uning koordinatalari

Mexanik sistema dinamikasida sistema nuktalari massalarining taksimlanishini ifodalovchi kattaliklar muxim axamiyatga ega. Bu kattaliklar xakidagi ta’limot massalar geometriyasi deyiladi. Mexanik sistema Mi, M₂. . . , Mp nuktalardan tashkil topgan bulsin. Bu nuktalarning massalarini moc ravishda tj, t₂ .., t_N bilan belgilaymiz. Oxug koordinatalar sistemasiga nisbatan sistema nuktalarining xolati radius- vektorlar bilan aniklansin. Sistema nuktalari massalarining yigindisi sistemaning massasi deyiladi. Sistema dinamikasida radius-vektori

formula yordamida aniklanadigan geometrik nukta S sistemaning massalar markazi deyiladi. (9) ning ikkala tomonini x, u, g koordinata uklariga proeksiyalab massalar markazining koordinatalari aniklanadi:

Bu formulalardan kuramizki, sistema massalar markazining xolati ta’sir etuvchi kuchlarga boglik bulmay, fakat berilgan sistema nuktalarining xolatiga va ularning massalariga boglik buladi. Agar sistema bir jinsli ogirlik kuchi maydonida joylashsa, bu sistemaning massalar markazi uning ogirlik markazi bilan ustma-ust tushadi. Sistema ogirlik kuchi maydonida xarakatlansa, ogirlik markazi mavjud; (10) formulalar esa ixtiyoriy sistema uchun urinli buladi. SHuning uchun sistemaning massalar markazi tushunchasi ogirlik markaziga nisbatan keng ma’noga ega.