Методические указания по изучению дисциплины «Теоретическая механика»

Пример 4. Найти реакцию жесткой заделки В изогнутой невесомой балки BDE (рис. 8,а)), находящейся под действием силы F = 20 кН и пары сил с моментомМ = 2 кН м при следующих данных: α = 30°, BD = 2м, DE=1м.
Решение. Будем следовать общей схеме решения задач о равновесии тела.
1. Реакция жесткой заделки В может быть найдена из исследования равновесия балки, поэтому в качестве твердого тела выбираем балку BDE. Отдельно рисуем расчетную схему (рис. 8, б).
2. Расставляем на схеме активные силовые факторы, действующие на балку, — силу и пару сил , которую изображаем при помощи дуговой стрелки в направлении вращения пары (в рассматриваемом случае по ходу часовой стрелки).
3. Балка несвободна, так как на нее наложена связь — жесткая заделка в точке В. Делаем балку свободной: отбрасываем связь, заменяя ее реакцией связи. Реакция заделки состоит из силы , неизвестной ни по величине, ни по направлению, и пары сил с моментом , неизвестным ни по величине, ни по направлению вращения.



Рис.8 Графическое изображение:
а) данных по условию задачи, б) расчетной схемы

Вводим систему координат ху, как показано на рисунке. Поскольку направление силы в заделке B неизвестно, представим ее двумя составляющими: и . Неизвестную пару сил реакции изобразим дуговой стрелкой. Отметим, что не нужно гадать, куда на самом деле направлены составляющие и дуговая стрелка момента пары — все это выяснится после решения задачи. Например, на расчетной схеме была нами направлена влево лишь потому, что при этом она оказалась заметнее на рисунке.

Заменим эквивалентной системой сил, состоящей из двух составляющих и , направленных параллельно координатным осям
= + , = cos α, = sin α.
4. Теперь на расчетной схеме оказалась свободная балка, находящаяся под действием сил, расположенных в одной плоскости. В этом случае система уравнений равновесия состоит из трех уравнений. Количество неизвестных — , , — равно трем. Это означает, что количество неизвестных и количество уравнений совпадают, и необходимые условия статической определимости задачи выполнены.
5. Воспользуемся основной формой уравнений равновесия для плоской системы сил , выбрав в качестве моментной точки центр В.
Основная опасность при составлении уравнений равновесия — возможность потери какой-либо силы, либо пары сил, поэтому рекомендуется выписать в строке все силы и все пары сил, приложенные к телу, а уравнения равновесия составлять под этой строкой.

Таблица 1 Результаты вычислений

Силы пары сил
=	-	+ 0	+ 0	-	+0	+0	= 0
=	0	+	0	0	-	0	= 0
=	0	0	+	+	-	-	= 0

Подставив исходные данные, найдем решение задачи

Х_В = -17,1 кН, Y_B= 10кН, М_B=4,9 кНм.
Знаки ответов говорят о том, что направление составляющей силы противоположно указанному на расчетной схеме, а направления составляющей и дуговой стрелки М_В соответствуют изображенным.
На схеме (рис. 8) не допускается зачеркивать и рисовать заново с учетом знака ответа, так как при этом становятся невозможными проверка правильности составления уравнений равновесия и интерпретация результатов.
Сила реакции заделки является геометрической суммой ортогональных составляющих и , поэтому ее величина может быть найдена по формуле
= 19,8 кН.
2.1 Статически определимые и неопределимые задачи
Для каждой системы сил можно составить определенное число уравнений равновесия — от одного для системы сил, имеющих общую линию действия, до шести для произвольной пространственной системы сил. Очевидно, что для однозначного определения неизвестных величин их число должно быть равно числу уравнений.
Задачи статики, в которых число неизвестных величин равно числу уравнений равновесия, составленных для данной системы сил, называют статически определимыми. Если же число неизвестных превышает число уравнений равновесия, то такую задачу методами статики (составлением уравнений равновесия) решить невозможно, так как получается неопределенность: части неизвестных можно придать любое значение, тогда остальные числом, равным числу уравнений равновесия, определяются однозначно.
Например, на рис. 9 тело подвешено на четырех расположенных в одной плоскости и непараллельных стержнях, на концах которых предусмотрены шарниры. Реакции таких стержней, действующие на тело, направлены вдоль последних. Имеем плоскую произвольную систему сил, для которой можно составить три уравнения равновесия. Следовательно, одна из сил «лишняя» (например, Т₄), и ей можно приписать некоторое произвольное значение, после чего из уравнений равновесия находятся остальные (Т₁...Т₂). Д ействительно, предположим, что вначале тело подвешено на двух стержнях 1 и 2. Такое тело может перемещаться в плоскости расположения стержней. Пусть траектория точки С, принадлежащей телу, есть m - m. Если к этой точке присоединить стержень 3, то траекторией его конечной точки С¹ служит дуга окружности п - п с радиусом, равным длине стержня. При несовпадении траекторий точек С и С¹ установка третьего стержня фиксирует положение тела, которое становится однозначно определенным. В этом случае установка четвертого стержня является излишней и будет сопровождаться трудностями из-за необходимости точно выдержать длину стержня равной фиксированному расстоянию АВ. Если стержень 4 короче или длиннее АВ, то для установки этого стержня потребуется его деформация — удлинение или укорочение, что связано с необходимостью отказа от гипотезы об абсолютно твердых телах, рассматриваемых в статике.
Если рассматривается равновесие сочлененных систем, то ее делят на части, прикладывая в местах разделения попарно противоположные и равные силы. Если всего п частей, то можно либо составлять уравнения равновесия для всей системы и п — 1 части, либо же только для п частей. Рассмотрим решение подобной системы на примере.