Методические указания к самостоятельной работе по дисциплине «Экономико-математические методы и моделирование»

5.3. Автокорреляция в остатках. Критерий Дарбина-Уотсона 
Рассмотрим уравнение регрессии вида: 
,
где 
k
– число независимых переменных модели.
Для каждого момента (периода) времени 
t
=1: n значение компоненты 
 
определяется так
: 
,
 
или
.
При моделировании временных рядов нередко встречается ситуация, 
когда остатки 
содержат тенденцию (рис.5.2.б,в) или циклические колебания 
(рис.5.2.г), когда в соответствии с предпосылками МНК остатки должны быть 
случайными (рис. 5.2 а ).

---

 
Рис.5.2 Варианты изменения остатков временного ряда
В том случае, когда каждое следующее значение 
зависит от 
, 
говорят о наличии автокорреляции остатков.
Причинами автокорреляции могут быть:
- исходные данные с ошибками в измерениях результативного признака;
- формулировка модели (модель может не включать фактор, оказывающий 
существенное воздействие на результат). Очень часто этим фактором 
является фактор времени 
t
).
Если причина автокорреляции – в неправильной спецификации 
функциональной формы модели, то следует изменить форму связи факторных 
и результативных признаков.
Существуют два наиболее распространенных метода определения 
автокорреляции остатков: 1) путем построения графика зависимости остатков 
от времени и визуальное определение наличия или отсутствия 
автокорреляции; 2) использование критерия Дарбина-Уотсона и расчет 
величины
.

---

Из данной формулы нетрудно вывести следующее соотношение между 
критерием Дарбина-Уотсона и коэффициентом автокорреляции остатков 
первого порядка
, где
Иными словами, если в остатках существует полная положительная 
автокорреляция и 
, то 
d
=0; если в остатках полная отрицательная 
автокорреляция 
, то, 
d
=4; если автокорреляция остатков отсутствует, то 
и 
d
=2.
Следовательно, 
.
Алгоритм выявления автокорреляции остатков на основе критерия 
Дарбина-Уотсона следующий. Выдвигается гипотеза 
Н
0
об отсутствии 
автокорреляции остатков. Альтернативные гипотезы
и 
состоят, 
соответственно, в наличии положительной или отрицательной автокорреляции 
в остатках. Далее по специальным таблицам определяются критические 
значения критерия Дарбина-Уотсона 
d
L
и 
d
U
для заданного числа наблюдений 
n
, 
числа независимых переменных модели
k
и уровня значимости . По этим 
значениям числовой промежуток [0;4] разбивают на пять отрезков. Принятие 
или отклонение каждой из гипотез с вероятностью (1- ) производится на 
основе данных, приведенных в таблице 5.1. 
Механизм проверки гипотезы о наличии автокорреляции остатков. Таблица 5.1.
Есть 
положительная 
автокорреляция 
остатков. 
Н
0

отклоняется. 
С 
вероятностью

Р=(1- ) 
принимается 
гипотеза Н
1
Зона 
неопределенност
и
Нет оснований 
отклонять Н
0
 
(автокорреляци
я 
остатков 
отсутствует) 
Зона 
неопределенност
и
Есть 
отрицательна
я 
автокорреляци
я остатков.
Н
0
 
отклоняется. 
С 
вероятностью

Р=(1- ) 
принимается 
гипотеза 
0 d
L
d
U 2
4-d
U
4-d
L
4

 

---

Если фактическое значение критерия Дарбина-Уотсона попадает в зону 
неопределенности, 
то 
на 
практике 
предполагают 
существование 
автокорреляции остатков и отклоняют гипотезу 
Н
0
.
Есть несколько существенных ограничений на применение критерия 
Дарбина – Уотсона:
-
он непременим к модели авторегрессии;
-
данный критерий можно использовать только для выявления 
автокорреляции остатков 1-го порядка;
-
критерий дает достоверные результаты только для больших выборок.