Методические рекомендации по изучению темы «Четырехугольники» План конспект урока на тему «Прямоугольник»

Классификация

1. 
   Параллелограмм
   

Определение. Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
Свойства параллелограмма:
1˚ В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.
2˚ Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
Признаки параллелограмма:
1˚ Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник – параллелограмм.
2˚ Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник – параллелограмм.
3˚ Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм.
Задачи из учебника
371. Докажите, что выпуклый четырехугольник АВСD является параллелограммом, если: а) ∠ВАС =∠АСD и ∠ВСА =∠DАС;
б) АВ || СD, ∠A=∠C.
373. Периметр параллелограмма АВСD равен 50 см, ∠С=30˚, а перпендикуляр ВН к прямой CD равен 6,5 см. Найдите стороны параллелограмма.
375. Найдите периметр параллелограмма, если биссектриса одного из его углов делит сторону параллелограмма на отрезки 7 см и 14 см.
376. Найдите углы параллелограмма АВСD, если: а) ∠ А = 84˚;
б) ∠А - ∠В = 55˚; в) ∠А +∠С = 142˚; г) ∠А=2∠В;
д) ∠САD=16˚, ∠АCD = 37˚.
380. На сторонах АВ, ВС, СD и DA четырехугольника АВСD отмечены соответственно точки M, N, P и Q так, что АМ = СР, ВN = DQ, BM = DP, NC = QA. Докажите, что четырехугольник АВСD и MNPQ – параллелограммы.
382. Диагонали параллелограмма АВСD пересекаются в точке О. Докажите, что четырехугольник А1В1С1D1, вершинами которого являются середины отрезков ОА, ОВ, ОС и ОD, - параллелограмм.


Задачи из ОГЭ
№1. Биссектрисы углов A и D па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке, ле­жа­щей на сто­ро­не BC. Най­ди­те AB, если BC = 34.

Решение: По опре­де­ле­нию па­рал­ле­ло­грам­ма ВС || АD, АЕ — се­ку­щая при па­рал­лель­ных прямых, следовательно, углы ВЕА и ЕАD равны как на­крест лежащие. По­сколь­ку ∠ВЕА=∠ВАЕ, тре­уголь­ник АВЕ — равнобедренный, от­ку­да АВ=ВЕ. Аналогично, тре­уголь­ник СЕD —рав­но­бед­рен­ный и ЕС=СD. Сто­ро­ны АВ и СD равны, как про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны параллелограмма, следовательно:
.

Ответ: 17.

№2. В па­рал­ле­ло­грам­ме АВСD про­ве­де­ны пер­пен­ди­ку­ля­ры ВЕ и DF к диа­го­на­ли АС (см. рисунок). Докажите, что ВFDЕ — параллелограмм.

Решение: Прямоугольные тре­уголь­ни­ки ABE и CDF равны по ги­по­те­ну­зе и остро­му углу (AB = CD как про­ти­во­ле­жа­щие сто­ро­ны параллелограмма; ∠BAE = ∠DCF как на­крест ле­жа­щие углы при па­рал­лель­ных пря­мых AB и CD и се­ку­щей AC). Следовательно, BE = DF. Кроме того, BE || DF, т. к. это пер­пен­ди­ку­ля­ры к одной прямой. Таким образом, в четырёхугольнике BFDE про­ти­во­ле­жа­щие сто­ро­ны равны и параллельны, по­это­му BFDE — параллелограмм.

2. 
   Трапеция
   

Определение. Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны. Параллельные стороны трапеции называются ее основаниями, а две другие стороны – боковыми сторонами.
Трапеция называется равнобедренной, если ее боковые стороны равны.
Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной.