Методические рекомендации по изучению темы «Четырехугольники» План конспект урока на тему «Прямоугольник»

434. Докажите, что точка пересечения диагоналей ромба равноудалена от его сторон.


Задачи из ОГЭ
№1. Высота AH ромба ABCD делит сто­ро­ну CD на от­рез­ки DH = 12 и CH = 1. Най­ди­те высоту ромба.

Решение: Поскольку ABCD — ромб, AD = DC = DH + HC = 13.
Треугольник ADH прямоугольный, поэтому: АН=
№2. Рас­сто­я­ние от точки пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей ромба до одной из его сто­рон равно 19, а одна из диа­го­на­лей ромба равна 76. Най­ди­те углы ромба.
В от­ве­те за­пи­ши­те ве­ли­чи­ны раз­лич­ных углов в по­ряд­ке воз­рас­та­ния без пробелов.

Введём обозначения, как по­ка­за­но на рисунке. Пусть диа­го­наль АС равна 76. Диа­го­на­ли ромба пе­ре­се­ка­ют­ся под пря­мым углом и де­лят­ся точ­кой пе­ре­се­че­ния пополам. Рас­смот­рим тре­уголь­ник АОН, он прямоугольный, найдём синус угла ОАН: sin =  , следовательно, угол OAH равен 30°.
Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки AOB и AOD, они прямоугольные, AO — общая, AB=AD, следовательно, эти тре­уголь­ни­ки равны, от­ку­да ∠ВАO =∠OAD=30˚, по­это­му ∠BAD=2∙30˚=60˚. Сумма смеж­ных углов ромба равна 180˚, откуда ∠AВС=180˚-∠BAD=180˚-60˚=120˚.
Ответ: 60120

5. 
   Квадрат
   

Определение. Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны. Прямоугольник является параллелограммом, поэтому и квадрат является параллелограммом, у которого все стороны равны, т.е. ромбом. Отсюда следует, что квадрат обладает всеми свойствами прямоугольника и ромба.
Основные свойства квадрата:

1. 
   Все углы квадрата прямые.
   
2. 
   Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.
   

Задачи из учебника
409. Докажите, что ромб, у которого один угол прямой, является квадратом.
410. Является ли четырехугольник квадратом, если его диагонали: а) равны и взаимно перпендикулярны; б) взаимно перпендикулярны и имеют общую середину; в) равны, взаимно перпендикулярны и имеют общую середину?
411. В прямоугольном треугольнике проведена биссектриса прямого угла. Через точку пересечения этой биссектрисы с гипотенузой проведены прямые, параллельные катетам. Докажите, что полученный четырехугольник – квадрат.