Мембрананинг эркин тебраниши

Мембрананинг эркин тебраниши.
Аниқлик учун томонлари ва га тенг бўлган тўғри тўртбурчак шаклидаги мембрананинг тебраниши ҳақидаги масалани ечайлик. Фараз қилайлик, мембрананинг четлари тўртбурчак томонларига маҳкамлаб қўйилган ва таранг тортилган бўлсин.
Бу масала: соҳада
(43)
тенгламанинг
(44)
чегаравий ва
(45)
бошланғич шартларни қаноатлантирувчи ечимини топишга келади (қ. 1-боб).
(43) тенгламанинг (44) шартларни қаноатлантирувчи ечимини
(46)
кўринишда излаймиз. Бу ечимни (43) га қўйиб

тенгликни ҳосил қиламиз. Бу тенглик ўринли бўлади, агар, 1- параграфда тушунтирганимиздек, унинг иккала тарафи ҳам битта ўзгармас қийматга тенг бўлса. Шу ўзгармасни билан белгилаб, (44) чегаравий шартларни эътиборга олиб қуйидагиларни топамиз:
(47)
(48)
(49)

Ўз навбатида (48), (49) масалани ечиш учун

(50)
деб Фурье усулини қўллаймиз. (50) ни (48) га қўйиб,
(51)
тенгликка эга бўламиз.
Энди (51) тенгликда ва лар ўзаро тенг бўлмай, уларнинг ҳар бири бошқа-бошқа ўзгармас сонларга тенг, чунки ўртада бор. Шунинг учун

деб,
(52)
тенгламаларни оламиз, бу ерда

Маълумки, (52) тенгламаларнинг умумий ечимлари
(54)
бўлиб, (49) шартларга биноан
(55)
шартларга эга бўламиз. Булардан бўлади. Агар деб олсак (бунинг аҳамияти йўқ)
(56)
бўлиб, ўз навбатида (55) шартларга кўра
(57)
бўлиши керак. Кўриниб турибдики, (57) тенгликлар , ларнинг чексиз кўп қийматларида ўринли бўлади:

Унда (53) га кўра нинг хос
(58)
қийматларига эга бўламиз.
Шундай қилиб, (58) хос қийматларга (50), (56) ларга асосан
(59)
(48), (49) масаланинг хос функциялари мос келади.
Ўз навбатида ҳос сонларнинг ҳар бирига мос келувчи (47) тенгламанинг умумий ечими
(60)

бўлади, лар ўзгармас сонлардир.

Демак, (46), (53), (60) га биноан (43) тенгламанинг (49) чегаравий шартларни қаноатлантирувчи ҳусусий ечими
(61)
кўринишда бўлади.
Қуйидаги қаторни тузамиз
(62)
Бу қатор ва ундан ҳамма ўзгарувчилар бўйича икки марта ҳадма-ҳад дифференциалланган қаторлар текис яқинлашувчи бўлса, табиийки, унинг йиғиндиси (43) тенгламани ва (49) шартларни қаноатлантиради. (62) ни (45) бошланғич шартларга қўйиб топамиз
(63)
(63) формулалар , функцияларнинг синуслар бўйича Фурьенинг қўш қаторларига ёйилмасидир.
Шу қўш қаторларни текис яқинлашувчи деб, уларни

га кўпайтирамиз ва бўйича дан гача, бўйича дан гача интеграллаб, коэффициентларни аниқлаймиз. Натижада


қийматларидан фойдаланиб,

коэффициентларни аниқлаймиз.