Международный научно-образовательный электронный журнал «образование и наука в XXI веке». Выпуск №10 (том 1)

Задача 2. А какое число останется в файле, если программа за один запуск стирает два 
числа и записывает вместо них их сумму?
Решение: Если в прошлой задаче инвариантом была четность суммы всех чисел вфайле, 
то теперь это будет сама сумма. Ясно, что при замене двух любых чисел на их сумму 
сумма всех не меняется. Поэтому последнее число - оно же сумма чисел в конце - равно 
сумме чисел (т.е. 2003 (см. задачу 1).
Задача 3. Имеются три числа, которые можно заменять по следующим правилам: числа а, Ь 
и с стираются и вместо них записываются (а+Ь)/2, (Ь+с)/2 и (а+с)/2. Можно ли из чисел 
101,73, 125 получить 77, 79 и 83?
Решение: А давайте так, "на всякий случай", посмотрим, как меняется сумма чисел. Было 
а+Ь+с, а стало ... вместо них записываются (а+Ь)/2+(Ь+с)/2+(а+с)/2 = (2а+2Ь+2с)/2 = а+Ь+с - 
не изменилась. То есть, как ни крути, а сумма трех чисел не меняется. Но 101 +73+ 125=299, 
а 77+79+83=23,9 - суммы исходной и конечной тройки разные. Поэтому из одной нельзя 
получить другую.
А те, кто захочет взять в качестве инварианта четность суммы или ее остаток по какому-то 
модулю. скорее всего, ошибутся, так как начальная и конечная суммы различаются на 60, а 
делителей у 60 ох как много)
Задача 4. Опять имеются три числа, которые можно заменять уже по другим правилам: а, Ь 
и с - на аЬ/с, ас/Ь и Ьс/а. Можно ли из 5, 17/6 и 3/5 получить 16/5, 9/4 и 7/6?
Решение: Ну, о том, куда тут переходит сумма чисел, даже думать не хочется. Что еще 
бывает, кроме суммы? Произведение, например. Перед операцией произведение чисел - 
аЬс, а после: (аЬ/с)*(ас/Ь)*(Ьс/а) = а2
ь
2с2/аЬс = аЬс - не изменилось! Значит, произведение 
трех чисел остается постоянным при всех операциях. Но в начале оно было равно 
5*(17/6)*(3/5)=8,5, а в конце (16/5)*(9/4)*(7/6)=8,4 –результаты не равны. Поэтому ответ 
"нельзя".
Если у нас есть какой-то набор чисел, над которым совершаются операции, то всегда 
стоит про верить, как изменяются при этих операциях сумма и произведение всех чисел. 
Очень часто они сами или их остатки по какому-то модулю являются инвариантом, с 
помощью которого решается задача.