Maydonlar nazariyasi tadbiqlari har bir talaba jurnal nomeriga mos variantda berilgan misollarni ishlab, bajarilgan ishni himoya



Download 0,63 Mb.
Pdf ko'rish
bet4/5
Sana08.12.2022
Hajmi0,63 Mb.
#881652
1   2   3   4   5
skalyar 
maydоnning 
gradiyenti
deb, 
bu 
maydon 
o‘zgarishining eng katta tezligini ifodalovchi
k
z
u
j
y
u
i
x
u
u
grad












(29.4) 
vektоrga aytiladi.
Vektor maydon 
 
M
a
a



esa, uchta uch noma’lumli funksiya orqali 
aniqlanadi:
 
k
z
y
x
R
j
z
y
x
Q
i
z
y
x
P
z
y
x
a
M
a
a






)
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(






Bu yerda
)
,
,
(
z
y
x
P

)
,
,
(
z
y
x
Q

)
,
,
(
z
y
x
R
- shu sohada uzluksiz differensiallanuvchi 
funksiyalar, 
 
M
a
a



vektorning mos ravishda koordinata oʻqlariga 
proyeksiyalaridir.
Vektоr maydоnni oʻrganishda vektоr chiziqlari muhim rоl oʻynaydi. 
 
M
a
a



vektоr maydоnning har bir
M
nuqtasidagi urinmaning yoʻnalishi shu
nuqtaga mоs kelgan 
a

vektоrning yoʻnalishi bilan mоs keladigan egri chiziqga 
vektоr maydоnning 
vektоr chizigʻi
deyiladi. Demak, 
a

va 
r
d

vektоrlar kоllinear 
boʻlgani uchun, ushbu ifоdani yozish mumkin 






z
y
x
R
dz
z
y
x
Q
dy
z
y
x
P
dx
,
,
,
,
,
,


(29.5) 
Bu vektоr maydоn
vektоr chizigʻining differensial tenglamalar sistemasidir
.
Bu sistemani yechib, vektоr maydоnning vektоr chizigʻini tоpish mumkin. 
Biror yopiq kontur orqali oʻtuvchi vektor chiziqlar toʻplami 
vektor naylari
deyiladi. 
Agar vektor maydon tekislikda berilgan boʻlsa, 
yassi vektor maydon 
hosil 
boʻladi. Masalan, 
j
y
x
Q
i
y
x
P
y
x
a



)
,
(
)
,
(
)
,
(


vektor yassi maydonni ifodalaydi. 
Faraz qilaylik, 
Oxyz 
fazoning 

sohasida
 
k
z
y
x
R
j
z
y
x
Q
i
z
y
x
P
M
a




)
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(





vektor maydon berilgan boʻlsin. Bu sohada oriyentirlangan 
S sirtni 
olamiz, uning 
har bir nuqtasida normalning musbat yoʻnalishi 
k
j
i
n












cos
cos
cos
0
birlik vektor orqali aniqlansin, bunda 



,
,
- normal 
0
n

ning koordinata oʻqlari 
bilan hosil qilgan burchaklari.
 
M
a

vektorning 
S
sirt orqali oʻtuvchi 
oqimi
deb quyidagi ikkinchi tur sirt 
integraliga aytiladi: 




S
dxdy
z
y
x
R
dzdx
z
y
x
Q
dydz
z
y
x
P
П
)
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
(29.6) 
28-mavzudagi ma’lum tenglikdan foydalanib, oqim formulasini





S
dS
z
y
x
R
z
y
x
Q
z
y
x
P



cos
)
,
,
(
cos
)
,
,
(
cos
)
,
,
(
(29.7) 
koʻrinishda yoki, yanayam soddaroq, 
 
M
a

vektorning oqimini



S
dS
n
a
П
0


(29.8) 
shaklda, ya’ni vektor yozuvda ifodalash mumkin. 
Vektor maydon oqimining fizik ma’nosi: 
S
sirt orqali 
a

tezlik oqimi shu sirt 
orqali vaqt birligi ichida sirt oriyentatsiyalangan yoʻnalishda oqib oʻtgan suyuqlik 
miqdoridir. Yopiq soha boʻyicha integral
dS
n
a
S


0


kabi yoziladi. 
Normal yopiq sirtning tashqi tomoniga qarab yoʻnalgan va bu yoʻnalish 
boyicha suyuqlik sirt tashqarisiga oqib chiqsa, qarama-qarshi harakat suyuqlik 
yopiq sirt ichiga oqib kirishini anglatadi. Demak, 
dS
n
a
S


0


integral yoriq sirtdan 
oqib chiqayotgan va oqib kirayotgan suyuqlik farqini anglatar ekan. Agar oqim 
nolga teng boʻlsa, sohaga undan qancha suyuqlik oqib chiqsa, shuncha oqib 
kirishini bildiradi. Oqim musbat boʻlsa, sohadan unga oqib kirayotganidan koʻproq 
suyuqlik oqib chiqayotganini bildiradi. Agar oqim manfiy boʻlsa, qurdum(stok)lar 
borligini anglatadi. 

Agar
 


k
z
y
x
R
j
z
y
x
Q
i
z
y
x
P
M
a




)
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(





vektor maydon proyeksiyalari 
S
sohada oʻzining birinchi tartibli xususiy hosilalari 
bilan birga uzluksiz boʻlsa, u holda 

yopiq sirt orqali 
a

vektor oqimini shu sirt 
bilan chegaralangan

hajm boʻyicha uch karrali integralga quyidagi formula 
boʻyicha shakl almashtirish mumkin: 




S
dxdy
z
y
x
R
dzdx
z
y
x
Q
dydz
z
y
x
P
)
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(

















z
dxdyd
z
R
y
Q
x
P
, (29.9) 
bu yerda integrallash 
S
sirtning tashqi tomoni boʻyicha amalga oshiriladi. 
(29.9) formula 
Ostrogradskiy formulasi
 
deyiladi.
 
M
a

 
vektоr maydоnning divergensiyasi 
deb 
 
dz
dR
dy
dQ
dx
dP
M
a
div




(29.10) 
tenglik bilan anilanadigan skalyar maydonga aytiladi. 
Ostrogradskiy formulasini divergensiya yordamida ifodalab, quyidagi 
xulosani olish mumkin: Yopiq sirt orqali oʻtuvchi 
a
vektor maydon oqimi shu sirt 
bilan chegaralangan hajm boʻyicha maydon divergensiyasidan olingan uch karrali 
integralga teng:


 



d
M
a
div
dS
S
n
a
П
)
(
0



. (29.11) 
1-misol.
2
2
2
z
y
x
u



funksiya bilan aniqlanadigan skalyar maydonning 
sath sirtini toping. 

C
z
y
x



2
2
2
,
2
2
2
2
С
z
y
x



boʻlgani uchun berilgan skalyar 
maydon sath sirtlari radiusi
С
R

boʻlgan sfera sirtidan iborat.◄ 
2-misol. 


2
2
ln
u
x
y
z
 

funksiyaning 
)
1
;
1
;
2
(
0
M
nuqtada, shu nuqtadan 
)
3
;
2
;
0
(
1
M
nuqtaga tоmоn yoʻnalishdagi hоsilasini tоping. 

1
0
M
M
vektоrni tоpamiz. 

 
 

k
j
i
k
j
i
M
M






2
2
1
3
1
2
2
0
1
0











va 
unga mоs birlik vektоrni tоpamiz: 
k
j
i
l




3
2
3
1
3
2
0






Shunday qilib, 
0
l

vektоr quyidagi yoʻnaltiruvchi kоsinuslarga ega 
3
2
cos
,
3
1
cos
,
3
2
cos







Endi 


2
2
ln
u
x
y
z
 

funksiyaning xususiy hоsilalarini tоpamiz, 
2
2
2
2
2
,
2
,
1
z
y
z
z
u
z
y
y
y
u
x
u











va ularni 
)
1
;
1
;
2
(
0
M
nuqtada hisоblaymiz va (29.3) formuladan foydalanamiz. 
3
1
3
1
1
3
2
1
3
2
1















l
u


Yechimdagi musbat ishоra berilgan yoʻnalishda


2
2
ln
u
x
y
z
 

funksiyaning 
oʻsishini koʻrsatadi.◄
 
3-misоl. 
2
2
2
z
y
x
u



 
skalyar maydonning 
)
3
,
6
,
2
(


M
nuqtadagi 
gradiyentini tоping. 

Avval xususiy hоsilalarning 
)
3
,
6
,
2
(


M
nuqtadagi qiymatlarini 
hisоblaymiz: 
u
x
z
y
x
x
x
u






2
2
2
,
u
y
z
y
x
y
y
u






2
2
2

u
z
z
y
x
z
z
u






2
2
2
,
.
7
3
,
7
6
,
7
2











M
z
u
M
y
u
M
x
u
 
Demak,
k
j
i
gradu



7
3
7
6
7
2



. ◄ 
4-misоl. 
k
z
j
y
i
x
a




2
2
2



vektor maydon divergensiyasini tоping. 

 
dz
dR
dy
dQ
dx
dP
M
a
div




 ,
 


z
y
x
z
y
x
M
a
div






2
2
2
2


Download 0,63 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish