Maxsus funksiyalar uchun fure almashtirishlari

II-bob_{ }sinfda Fure almashtirishi Plansherov nazariyasi Bessel funksiyasi uchun Fure almashtirishi.
2.1._{ }

Plansherel nazariyasi.
2.1.1 _{ }
Butun sonlar o’qida aniqlangan va o’lchovli haqiqiy yoki komplekis qiymatli haqiqiy argumentli f(x)funksiya _{ }

Tenglik o’rinli bo’lsa.Umuman olganda integiral chekli bo’lishi kerak.Aniqlangan _{ }
Bu sinfdan olingan har bir f(x)funksiya_{ } bo’lsin.

Ko’rinadiki aniqlangan _{   }.Normalshartlarni qanoatlantirishini osongina tekshirish mumkin.
2.1.1-ta’rif. _{ } f(x)ϵ_{ } deyiladi,agar _{ }.
2.1.2-ta’rif._{   } funksiyalar ketma-ketligi, o’ziga yaqinlashadi deyiladi, agar

Lemma:1 Agar _{ } funksiyaga o’rtacha kvadiratik ma’noda yaqinlashuvchi bo’lsa,u holda,u o’ziga yaqinlashadi.
Lemmaning isboti uchburchak tengsizlikidan kelib chiqadi ya’ni

Agar f(x),g(x)ϵ_{ }

(f,g)=_{ }

ko’rinishda bo’ladi.Bu aniqlangan ifoda skalyar ko’paytmasining shartlarni qanoatlantiradi .

a)_{ }

b) (f,g)=( _{ });

v) (α f,g)=α(f,g),(f,β g)=_{ }(f,g),∀αβστ;

g) (f+g,h)=(f,h)+(g,f);(f,g+h)=(f,g)+(f,h);

d)_{ }
Bu xossaning barchasi skalyar ko’paytma aniqlangan formula yordamida kelib chiqadi ,d)esa v)va g)dan kelib chiqadi.
_{ } da skalyar ko’paytma uchun bahoni qaraymiz. Bu bahoni Koshi-Bunyakeviskiy tangsizligi yordamida
_{ } ko’rinihni oladi.Bu bahoga ekvivalent baho sifatida (_{ })_{ } ni olishimiz mumkin.
2.1.3-ta’rif. _{ }olingan _{ } funksiyalar ketma-ketligi f(x)ϵ_{ } ga kuchsiz ma’noda yaqinlashuvchi deyiladi,agar _{ }barcha g(x)ϵ_{ }lar uchun bajarilsa