Мавзунинг режаси Фазода ихтиёрий жойлашган кучлар системаси

Aim.uz

Фазода ихтиёрий йўналган кучлар системасини қўшиш. Фазовий кучлар системасининг бош вектор ва бош моментини аниқлаш
Мавзунинг режаси
1.Фазода ихтиёрий жойлашган кучлар системаси.
2.Фазода ихтиёрий жойлашган кучлар системасини содда холга келтириш.
3.Фазода ихтиёрий жойлашган кучлар системасинини бош вектори ва бош моменти.
Мавзунинг мақсади. Бу мавзунинг асосий мақсади шундаки, талай машиналар ва конструкцияларга кщпинча фазовий йщналишда бщлган ихтиёрий кучлар системаси тасир этиши мумкин. Қуйида шундай мураккаб кучлар системасини хам содда холдаги кучлар системасига келтириш, яни уларнинг бош вектори ва бош моментини аниқлаш қоидалари щрганилади.
Таянч сщз ва иборалар: Фазовий кучлар системаси, Фазовий кучларни соддалаштириш, бош вектор, бош момент, динамо.
Баёни:
1.Фазода ихтиёрий жойлашган кучлар системасини
содда холга келтириш.

Биз юқорида текисликда ихтиёрий йщналган кучлар системасининг бош вектори ва бош моментини аниқлашни щргандик. Эндиликда худди шундай вазифани фазовий кучлар системаси учун бажаришни щрганамиз.

Фараз қилайлик бирор қаттиқ жисмга фазода ихтиёрий йщналган ва тасир чизиқлари бир нуқтада кесишмайдиган бир нечта кучлар системаси тасир этсин. яни _{ } берилган бщлсин. Шу кучлар ётган системада ихтиёрий нуқта танлаб олайлик ва уни О харфи билан белгилайлик, сщнгра шу О нуқтани марказ деб хисоблаб, юқоридаги (Пуассон леммасига) қоидага асосан барча кучларни бирин кетин шу нуқтага щзига параллел равишда кщчириб қщяйлик.
У холда О нуқтада берилган _{ } кучлар системасига параллел бщлган _{ } янги фазовий кучлар системаси, ва N - та фазовий жуфт кучлар системаси пайдо бщлди.
Хосил бщлган кучлар системасининг тасир чизиқлари бир нуқтада, яни О нуқтада кесишганликлари сабабли, уларни учрашувчи кучлар системасидаги каби, геометрик ёки аналитик усул билан қщшамиз. Лекин хосил бщлган йигинди векторни илгариги каби тенг тасир этувчи деб атайолмаймиз, чунки бу жисмга яна бирнечта фазовий жуфт кучлар таъсир этмоқда.
Шунинг учун ушбу йигинди вектор бош вектор деб аталади, ва уни лотинча Q харфи билан белгиланади, яни
_{ } (6.1)

Энди, шу системада жойлашган N - та жуфтларнинг вектор моментларини хам аниқлаб, уларни вектор усулида қщшиб бош моментни хосил қиламиз, яни

_{ } (6.2)

Демак фазода ихтиёрий жойлашган кучлар системасини бир марказга келтириб, уларнинг бош вектори ва бош момент векторини аниқладик, шуларга кщра жисм қайси томонга бош вектор тасирида илгарилама харакатда бщлишлиги, ва қандай жуфт куч тасирида қандай момент билан қайси тарафга айланма харакат қилишлигини аниқлаб олдик.

Худди шу ишларни текисликда ихтиёрий жойлашган кучлар системаси учун бажарган эдик. Энди хозирги бош вектор ва бош момент билан, текисликдаги кучлар системасининг бош вектори ва бош моментининг фарқи шундаки, улар жисмни фақат иккита щқ бщйлаб илгарилама ва шу текисликка перпендикуляр бщлган щқ атрофида айланма харакат қилдириши мумкин эди.
Хозирги фазовий масалада эса ушбу бош вектор ва бош момент қаттиқ жисмни фазодаги учта щқ бщйича (масалан Ох, Оу, Оz щқлар бщйлаб) илгарилама ва фазодаги учта щқ атрофида (масалан Ох, Оу, Оz щқлар атрофида) айланма харакат қилдириши мумкин, шунга кщра,


_{ } (6.3)

худди шу каби бош моментни координата щқларидаги проекцияларини хам қуйидаги учта тенгламалар системаси орқали аниқлаймиз, яни хар бир кучни Ох, Оу, Оz щқларига нисбатан моментларини хисоблаб, уларни алгебраик равишда қщшамиз,

_{ } (6.4)
Фазовий кучлар системасининг бош вектори ва бош моментининг модулларини қуйидаги формулалар орқали аниқлаймиз, яни


_{ } (6.5)

Агар этибор берган бщлсангиз (6.1) вектор тенгламада, ва унинг координата щқларидаги проекциялари бщлган (6.3) тенгламалар системасининг щнг томонида _{ } тенглик ишораси қщйилган. Бунинг сабаби шуки кучларнинг координата щқларига олинган проекциялари келтириш нуқтасига боглиқ эмас экан, бу хоссани инвариантлик дейилади.

Бу ерда хам текисликда ихтиёрий жойлашган кучлар системасида кщрганимиздек масалаларни ечганимизда, яни бош вектор ва бош момент аниқлангандан кейин, қуйидаги холлар бщлиши мумкин:

 
6.1 шакл.

1. 
   Бош вектор Q=0 га тенг, бош момент M_о0. Бу холда жисм эркин бщлса, у О (ихтиёрий нуқта) нуқта атрофида M_о га тенг моментли жуфт тасирида (унинг ишорасига қараб у ёки бу томонга) фақат айланма харакат қилаётганлигини аниқлаймиз.
   

Масалан, 6.1 шаклдаги вертолётнинг винти (парраги) қщзгалмас щқ атрофида айланма харакат қилмоқда, вертолёт хали кщтарилгани йщқ.

2. 
   Бош вектор Q0 га тенг, бош момент M_о=0. Бу холда жисм Q кучига тенг бщлган бош вектор тасирида фақат илгарилама харакат қилаётганлигини аниқлаймиз. Агар жисм эркин холатда бщлса ва ушбу Q куч векторининг тасир чизиги, унинг огирлик марказидан щтса бундай жисм фақат илгарилама харакат қилади, ва бош вектор тенг тасир этувчи вектор сифатида иштирок этади, яни шу хол учун Q=R тенглик щрили бщлади.
   
3. 
   Бош вектор Q=0 га тенг, бош момент M_о=0. Бу холда жисмга қщйилган кучлар системасининг бош вектори хам, бош моменти хам нолга тенг экан, демак жисм мувозанат холатда эканлиги кщриниб турибди. Бу масала алохида кщриб щтилади.
   
4. 
   Бош вектор Q0 га тенг, бош момент M_о0. Бу холда қаттиқ жисм бир вақтни щзида хам илгарилама, хам айланма харакат қилмоқда.
   

Ушбу тщртинчи холатни алохида текшириб щтамиз, чунки текисликда ихтиёрий жойлашган кучлар системасида бош вектор билан бош момент вектори бир-бирлари билан фақат 90^о бурчак ташкил этиб йщналган эдилар, яни улар щзаро перпендикуляр холда жойлашар эдилар.
Фазовий ихтиёрий йщналган кучлар системасида эса бу бурчак ихтиёрий қийматни олиши мумкин, шунга кщра қаттиқ жисмнинг харакати хам турлича бщлади.
а) Бош вектор билан бош момент щзаро перпендикуляр равишда йщналган бщлсин, яни _{ }. Бундай холда система битта тенг тасир этувчи векторга айланади ва ушбу масала 5 - марузанинг 3 параграфидаги каби соддалаштирилади.
Масалан 6.2 шаклда вертолёт горизонтал щқ бщйлаб харакат қилмоқда, вертолётнинг винти (парраги) иккита харакатда иштирок этмоқда, қщзгалувчан щқ атрофида буровчи момент М- тасирида айланма ва вертолёт билан биргаликда Q - кучи тасирида илгарилама.
   

6.2 шакл.

в) Бош вектор билан бош момент щзаро параллел, яни бир щқ бщйлаб йщналган бщлсин (6.3 шаклга қаранг), яни _{ }. Бундай холатни динамо холати дейилади, ва қаттиқ жисм бундай кучлар системаси тасирида винтсимон харакат қилади. Агар уларнинг йщналиши бир тарафга бщлса щнг винт, акс холда чап винт бщйича харакат қилади.

 

6.3 шакл.
Масалан, вертолётнинг винти иккита харакатда иштирок этмоқда, қщзгалувчан щқ атрофида буровчи момент М- тасирида айланма ва вертолёт билан биргаликда Q - кучи тасирида илгарилама. Лекин айланма харакат илгариланма харакатнинг щқи атрофида содир бщлмоқда.

с) Бош вектор билан бош момент бир-бирлари билан ихтиёрий бурчак остида йщналган бщлсинлар (6.4 шаклга қаранг), яни _{ }. Бу холда вертолёт ихтиёрий  - бурчак остида кщтарилмоқда, ёки шундай бурчак остида пасаймоқда.

   
6.4 шакл.

Бундай холда хам винтсимон харакат бщлади, лекин винтнинг щқи О нуқтадан эмас балки ундан h=M/Q - масофада жойлашган ва бош момент векторига параллел бщлган С щқ атрофида айланади. Ушбу масалани студентларга мустақил иш сифатида бериш мақул деб хисоблайман, шунинг учун уни бу ерда баён этмайман.

Бу марузадаги қоидаларга асосан гимнастика ва акробатика бщйича жахон миқёсидаги спортсменлар турли хил снарядларда мураккаб фигуралар бщйича харакат қилишлари учун алохида тайёргарлик кщрадилар. Шу механика қонунлари асосида, қандай харакат қилишлари учун, щз танасининг қайси жойига қандай куч билан тасир кщрсатишлари зарурлиги устида кщп машқ қиладилар.
Бундан кейин студентларга фазовий кучларни бир нуқтага келтириш бщйича масала ечиб кщрсатилади.
МАСАЛА. 6.5 шаклда кщрсатилган фазовий кучлар системасини соддалаштирилсин. Кучлар томонлари а-га тенг бщлган кубнинг учларига шаклда кщрсатилгандек қщйилган бщлиб, улар F₁=F₂=F₃=F ва F₄=F₅=2F қийматларга эгадирлар.

 
6.5 шакл.

Ечиш. Масалани ечиш учун аввало кубнинг бир учидан координата щқларини щтказамиз. Сщнгра барча кучларни х, у, ва z -щқларига проекциялаб, бош векторнинг қийматини аниқлаймиз.

_{ } (a)
_{ } (b)
_{ } (c)
Кучларнинг қийматларини қщйиб, бош векторнинг координата щқларидаги проекцияларининг модулларини аниқлаймиз,
_{ } демак бош вектор
_{ } (d)
дан иборат экан. Унинг модули эса қуйидагича аниқланади,


_{ } (e)
га тенг бщлади.
Энди кучларни координата щқларга нисбатан моментларини аниқлаймиз,


_{ 
 
 }
Ушбу тенгликларга кучларнинг тегишли қийматларини қщйиб хисоблаб чиқсак,


_{ }
Демак бош моментнинг вектори қуйидаги кщринишга эга бщлади,


_{ } (f)
Бош моментнинг модули,
_{ } (g)
(d) формулага асосан бош вектор Оz - щқида ётади, лекин унинг йщналиши бу щқнинг йщналишига тескари экан.

6. 
   формулага асосан бош момент Оу - щқнинг мусбат йщналиши бщйича ётади.
   

 
6.6 шакл.

5. 
   шаклдан кщриниб тургандек бош момент вектори _{ }- билан бош вектор_{ } щзаро 90^о бурчак ташкил этмоқда. Шу сабабли бундай кучлар системасини битта тенг тасир этувчи вектор билан алмаштириш мумкин. Бунинг учун бош моментнинг модулини бош векторнинг модулига бщлиб, тенг тасир этувчи векторнинг тасир чизигини щрнини белгилаб оламиз (6.6 шаклга қаранг).
   

Шаклдан кщриниб тургандек тенг тасир этувчи вектор _{ } - нинг тасир чизиги Ох щқини а- га тенг бщлган масофада кесиб щтиб, бош вектор_{ } билан параллел равишда бир томонга йщналган, модуллари хам щзаро тенг.
Энди масалани ечдик, қандай мулохаза юритиш зарур. Асосий гап шундаки масалани берилишида, жисмга 5 та турли йщналишдаги кучлар тасир этаётган эди. Биз эса масалани ечиб шуни исбот қилдикки, юқоридаги 5 та кучларнинг тасирини битта тенг тасир этувчи _{ } - вектори бажариши мумкин экан.
Шу тенг тасир этувчи векторнинг сон қиймати модули шаклда кщрсатилгандек R=Q бош вектор (бош куч)га тенг бщлиб, у жисмнинг А нуқтасига қщйилиши зарур экан.
 
6.7 шакл.
Юқоридагиларга асосан қуйидаги хулосани чиқариш мумкин. Харқандай мураккаб кучлар системасини жисмнинг холатини щзгартирмасдан бошқа анча содда бщлган бош куч ва бош момент билан, ёки бази холларда ягона тенг тасир этувчи куч билан алмаштириш мумкинлиги билан, ва амалда уни қандай бажариш усуллари билан танишиб чиқдик.