Mavzu: to‘plamlar va ular ustida amallar to‘plamlar algebrasi. Reja

MAVZU: TO‘PLAMLAR VA ULAR USTIDA AMALLAR. TO‘PLAMLAR ALGEBRASI.

REJA:

1. To‘plam tushunchasi va unga misollar.

2. Qism to‘plamlar va ularga misollar.

3. To‘plamlar ustida bajariladigan amallar.

4. To‘plamlar ustida bajariladigan amallarning xossalari.

5. Bo‘sh va universal to‘plamlar. To‘ldiruvchi to‘plam.

6. To‘plamlar ustida bajariladigan amallarni Eyler-Venn diagrammalari yordamida ifodalash.
Tayanch so’zlar: To’plam va uning elementlari, to’plamlar kesishmasi, birlashmasi, ayirmasi, bo’sh to’plam, universal to’plam, qism to’plam, dekart ko’paytma, Eyler-Venn diagramma.
1.To‘plam matematikaning asosiy tushunchalaridan biri bo‘lib, u matematika faniga nemis matematigi Georg Kantor (1845-1918) tomonidan kiritilgan. To‘plam tushunchasi eng sodda tushunchalardan biri bo‘lgani uchun o‘nga ta’rif berilmaydi. Odatda obyektlarni (predmetlarni) birgalikda olib qaraganimizda to‘plam tushunchasiga kelamiz. Lekin bu yuzaki qarash bo‘lib ayrim olingan birta elementning o‘zini hamto‘plam deb qarash mumkin.

To‘plamlarni biz lotin alfavitining bosh harflari A, B, C, D, ... bilan, to‘plamni tashkil etuvchi obyektlarni (ya’ni to‘plamning elementlarini) esa lotin alfavitining kichik harflari a, b, c, d,... lar bilan belgilaymiz. a elementning A to‘plamga tegishli ekanligini aA ko‘rinishda b elementning Ato‘plamga tegishli emas ekanligini esa bA ko‘rinishda belgilaymiz. A to‘plam a, b, c, d, e elementlardan tashkil topgan bo‘lsa, u A{ a, b, c, d, e} ko‘rinishda belgilanadi.

Agar qaralayotgan to‘plamdagi elementlar soni chekli bo‘lsa, bu to‘plamga chekli to‘plam, aks holda, ya’ni to‘plamdagi elementlar soni cheksiz ko‘pbo‘lsa, bu to‘plamga cheksiz to‘plam deyiladi.

Masalan: A{ a, b, c, 1, 2}, B-O‘zbekistondagi talabalar to‘plami, C -Yer yuzidagi sut emizuvchi hayvonlar to‘plami. Bu A,B,C to‘plamlar chekli to‘plamlardir.

N{ 1, 2, 3, 4, ... , n, ...} - natural sonlar to‘plami,

Z{ 0, 1, 2, 3, ... ,  n, ...} - butun sonlar to‘plami,

Z_m { 0, m, 2m, ... } - m ga karrali butun sonlar to‘plami.

БуN, Z ,Z_m - to‘plamlar cheksiz to‘plamlarga misol bo‘ladi.

2. Agar А ва В to‘plamlar berilgan bo‘lib, А to‘plamning har bir elementi В to‘plamga tegishli bo‘lsa, А to‘plamni В to‘plamning qism to‘plami deyiladi va А В ko‘rinishda belgilanadi. Agarda А В bo‘lib В da А ga kirmagan element mavjud bo‘lsa, А ga В ning xos qismi deyiladi.

Masalan. A{ a , b , c , d , e } va B{a, b, c, d, e, f, l, 1, 2} bo‘lsa, А В. Shuningdek NZ.

Agar А to‘plamning har bir elementi В to‘plamda va aksincha В to‘plamning har bir elementi А to‘plamda mavjud bo‘lsa, u holda bunday to‘plamlarga o‘zaro teng to‘plamlar deyiladi va АВ ko‘rinishda belgilanadi.

3. Endi berilgan А va В to‘plamlardan yangi to‘plamlarni hosilqilish amallarni ko‘ribchiqamiz.

А va В to‘plamlarning barcha elementlaridan tuzilgan С to‘plamga А va В to‘plamlarning birlashmasi deyiladi va АВ ko‘rinishda belgilanadi. Demak, СAB. Masalan: A{ a, b, c, 1, 2 } va В{ b, d, 2} bo‘lsa, AB{ a, b,c, d, 1,2 } bo‘ladi. Bunda А va В to‘plamlarning ikkalasida ham mavjud bo‘lgan elementlar birlashmada bir marta olinadi.

А va В to‘plamlarning umumiy elementlaridan tuzilgan С to‘plamga А va В to‘plamlarning kesishmasi deyiladi va А В ko‘rinishda belgilanadi. Demak, СAB Masalan yuqorida berilgan to‘plamlar uchun А В{ b, 2 }.

A to‘plamdan В to‘plamning ayirmasi deb А ning В ga kirmagan elementlaridan tuzilgan to‘plamga aytiladi va А  В ko‘rinishda belgilanadi. Yuqoridagi olgan misolimizda А  В{ 1, a, c } va В  А { d }.

Bundan A  B  B  A ekanligi kelib chiqadi.

To‘plamlarning ayirmasi bilan birga ularning simmetrik ayirmasi deb ataluvchi АВ (A  B)( B  A) bilan aniqlanuvchi to‘plam hamqaraladi.

А va В тўпламларнинг элементларидан тузилган барча мумкин бўлган

(a,b) ko‘rinishdagi juftliklar to‘plamiga А va В to‘plamlarning to‘g‘ri (Dekart) ko‘paytmasi deyiladi va А×В ko‘rinishda belgilanadi.

( a, b) juftlikda aA va b B. Demak, А×В { ( a, b) a A , b B }.

Masalan: А{ 1, 2, 3 }, B{ a, b} bo‘lsa,

АxВ={(1, a); (1, b); (2, a); (2,b); (3,a); (3,b)} bo‘ladi.