Mavzu: Tasodifiy hodisa Reja: Tasodfiy hodisa haqida tushuncha Tasodifiy hodisalar ustida amallar

Mavzu:Tasodifiy hodisa
Reja:
1.Tasodfiy hodisa haqida tushuncha
2.Tasodifiy hodisalar ustida amallar
3.Hodisa ehtimolining ta’riflari
4.Xulosa
5.Foydalanilgan adabiyotlar

Kundalik hayotda turli hodisalarga duch kelamiz. Ularga masalan, quyoshning chiqish va botish hodisasi, havo o`zgarib, yomg`ir yoki qor yog`ish hodisasi misol bo`ladi. Albatta, hodisalar mu`lum shart-sharaitlar (shartlar majmui), bajarilish yoki biror tajriba (sinash) o`tkazish natijasida ro`y beradi. Masalan, bir dona to`liq mag`izli chigitni etarli haroratga, namlikka ega bo`lgan tuproqqa etarli chuqurlikka (shartlar majmuasi) ekkanda unib chiqish yoki chiqmaslik hodisalaridan biri ro`y berishi mumkin. Tajriba natijasida biror shartlar majmui bajarilganda albatta ro`y beradigan hodisa muqarrar hodisa deyiladi. Tajriba natijasida shartlar majmui bajarilganda mutlaqo ro`y bermaydigan hodisa mumkin bo`lmagan (muqarrar bo`lmagan) hodisa deyiladi. Ammo amaliyotda natijasini to`la ishonch bilan bashorat qilish mumkin bo`lmagan tajribalar (sinovlar) bilan ish ko`rishga to`g`ri keladi. Masalan, tangani tashlashdan iborat tajribada u yoki bu tomonini tushishini to`la ishonch bilan oldindan aytish mumkin emas yoki ekilgan chigit urug`ini unib chiqish yoki chiqmasliginn aytish qiyindir. Bunga o`xshash barcha hollarda tajribaning natijasini tasodifga bog`liq deb hisoblaymiz va uni tasodifiy hodisa sifatida qaraymiz. Shunday qilib tasodifiy hodisaga, quyidagicha ta`rif berish mumkin. Tajriba natijasida (biror shartlar majmui bajarilganda) ro`y berishi ham, ro`y bermasligi ham mumkin bo`lgan hodisa tasodifiy hodisa deb ataladi. Masalan, tanga tashlash tajribasida yo gerbli tomon tushishi, yoki raqamli tomon tushishi hodisasi tasodifiy hodisa bo`ladi. Tasodifiy hodisalar latin alfavitiniig bosh harflarn A, V, S, D . . . bilan belgilanadi. Muqarrar hodisani U harfi bilan, mumkin bo`lmagan hodisani esa V harfi bilan belgilaymiz. Biror tajriba o`tkazilayotgan bo`lsin. Bu tajribaning har bir natijasini ifodalovchi hodisa elementar hodisa deb ataladi va ω (omega) bilan belgilanadi. Elementar hodisalar to`plami Ω bilan belgilanadi, ya`ni Ω = {ω }. Elementar hodisalarga ajratish mumkin bo`lgan hodisa murakkab hodisa deb ataladi. Ko`pincha amaliyotda bir xil shartlar majmui bajarilganda ko`p marta kuzatilishi mumkin bo`lgan hodisalar, ya`ni ommaviy bir jinsli hodisalar bilan ish ko`rishga to`g`ri keladi. Ehtimollar nazariyasi etarlicha, ko`p sondagi bir jinsli tasodifiy hodisalar bo`ysunadigan qonuniyatlarni aniqlash bilan shug`ullanadi. Demak, ehtimollar nazariyasi predmeti ommaviy bir jinsli tasodifiy hodisalarning ehtimoliy konuniyatlarini o`rganuvchi fandir. Misollar. 1. Tangani bir marta tashlashdan iborat tajribani qaraylik. Bu tajriba natijasi ikkita elementar hodisadan: ω1 —tanganing gerbli tomoni tushishi hodisasi (G) va ω2 - tanganing raqamli tomoni tushishi hodisasidan (R) iborat bo`ladi. Demak, bu holda elementar hodisalar to`plami Ω = {ω1 ω2 }={G, R} bo`ladi. 2. Tangani ikki marta tashlashdan iborat tajribani qaraylik. Bu tajriba natijalari quyidagicha bo`ladi: GG — ikki marta ham tanganing gerbli tomoni tushishi hodisasi; GR — birinchi marta gerbli, ikkinchi marta raqamli tomoni tushish hodisasi; RG — birinchi marta raqamli, ikkinchi marta esa gerbli tomoni tushishi hodisasi; RR — ikki marta ham tanganing raqamli tomoni tushishi hodisasi. Bu holda elementar hodisalar GG, GR, RG, RR bo`lib, ularning to`plami Ω={ GG, GR, RG, RR} bo`ladi.
Biror tajriba o`tkazilgan bo`lib, uning natijasida A va V hodisalar ro`y bergan bo`lsin. Ko`pgina hollarda ehtimolni hisoblash jarayonida o`rganilayotgan hodisalar orasidagn bog`lanishni aniqlash lozim bo`ladi. Shu maqsadda quyida hodisalar tengligi, yig`indisi va ko`paytmasi tushunchalari bilan tanishamiz. 23.1-ta`rif. Agar tajriba natijasida A hodisa ro`y berganda hamma vaqt V hodisa ham ro`y bersa, A hodisa V ni ergashtiradi deb ataladi va А ⊂ В kabi yoziladi. Masalan, tajriba 3 dona yangi nav urug`ni ekishdan iborat bo`lsin. Bu tajriba natijasidan quyidagi hodisalarni tuzamiz: Ao — birorta ham urug` unib chiqmaganligi hodisasi, A1 — 1 dona urug`ning unib chiqish hodisasi, A2 — ikki dona urug`ning unib chiqish hodisasi, A — unib chiqqan urug`lar soni ikkitadan ortiq bo`lmaganlik hodisasi. Ravshanki, bu xolda А0 ⊂ А1, bo`ladi. А1 ⊂ А, А2 ⊂ А 4 23.2-ta`rif. Agar A hodisa V hodisani ergashtirsa va o`z navbatida V hodisa A hodisani ergashtirsa, u holda A va V teng kuchli hodisalar deyiladi va A=V kabi yoziladi. 23.3-ta`rif. Tajriba natijasida yo A hodisa, yoki V hodisa, yoki ham A, ham V hodisalar ro`y berishidan iborat hodisa A va V hodisalarning yig`indisi deb ataladi va A + V kabi belgilanadi. 23.4-ta`rif. Tajriba natijasida ham A hodisa, ham V hodisaning (bir vaqtda) birgalikda ro`y berishidan iborat hodisa A va V hodisalar ko`paytmasi deb ataladi va AV kabi belgilanadi. 23.5-ta`rif. Agar A va V hodisalar bir paytda ro`y berishi mumkin bo`lmagan hodisalar, ya`ni A ⋅ V =V bo`lsa, u holda A va V birgalikda bo`lmagan hodisalar deyiladi. Aks holda birgalikda hodisalar deyiladi. Masalan, tangani tashlash natijasida bir vaqtda gerbli va raqamli tomonlar tushish hodisalari birgalikda bo`lmagan hodisalar bo`ladi. 23.6-ta`rif. Agar A va V hodisalar yig`indisi muqarrar hodisa, ko`paytmasi esa mumkin bo`lmagan hodisa, ya`ni A + V =U, A ⋅ V =V bo`lsa, u holda A va V hodisalar o`zaro qarama-qarshi hodisalar deyiladi. Odatda A hodisaga karama-qarshi hodisaga А kabi belgilanadi. Demak, A + А=U, A ⋅ А=V. 23.7-ta`rif. Tajriba natijasida A hodisaning ro`y berishdan, V hodisaning esa ro`y bermasligidan iborat hodisa A va V hodisalar ayirmasi deb ataladi va A - V kabi belgilanadi. 23.1-eslatma. A1, A2, …, Ap hodisalarning yig`indisi va ko`paytmasi yuqoridagidek ta`riflanadi. A1, A2, …, Ap hodisalarni qaraylik. Agar bu hodisalar yig`indisi muqarrar hodisa bo`lsa, ya`ni A1 + A2 + … + Ap = U bo`lsa, u holda A1, A2, …, Ap hodisalar hodisalarning to`la gruppasini tashkil etadi deyiladi. Agar A1, A2, …, Ap hodisalar uchun 10 . A1 + A2 + … + Ap = U; 20 . Ai Aj =V, i≠j (i, j=1, 2, …, n) bulsa, ya`ni istalgan ikkita Ai va Aj ( i≠j) (i, j=1,n ) hodisalar bir vaqtda ro`y berishi mumkin bo`lmasa, u holda A1, A2, …, Ap hodisalar juft-jufti bilan birgalikda bo`lmagan hodisalarning to`la gruppasini tashkil etadi deyiladi. Agarda bir necha A1, A2, …, Ap hodisalardan istalgan birini sinash natijasida ro`y berishi boshqalariga qaraganda kattaroq imkoniyatga (qulaylikka) ega deyishga asos bo`lmasa, bunday hodisalar teng imkoniyatli hodisalar deyiladi.
Ehtimollar nazariyasining asosiy tushunchasi bo`lgan tasodifiy hodisaning ehtimoli tushunchasini keltiramiz. Hodisaning ehtimoli ma`nosini anglash uchun bitta sodda misol keltiramiz. Bitta yashikda 10 dona bir xil shar bo`lib, ularning ikkitasi qizil rangli, 8 tasi esa ko`k rangli bo`lsin. Yashikdagi bu sharlarni yaxshilab aralashtirib, so`ng bu yashikdan qaramasdan tavakkaliga shar olish tajribasini o`tkazaylik. Ravshanki, yashikdan olingan sharning ko`k rangli bo`lish imkoniyati qizil rangli bo`lishi imkoniyatiga qaraganda ko`proq bo`ladi. Odatda imkoniyatlarni sonlar bilan xarakterlab, ular solishtiriladi. Natijada ko`p imkoniyatli, kam imkoniyatli umuman, ma`lum miqdordagi imkoniyatli kabi hodisalarning sonli o`lchovlari to`g`risida gapirish mumkin bo`ladi. Bu hodisaning ehtimoli tushunchasiga olib keladi. 1. Hodisa ehtimolining klassik ta`rifi. Biror tajriba natijasida chekli sondagi e1, e2, …, en elementar hodisalardan birortasi ro`y berishi mumkin bo`lsin. 5 Bu e1, e2, …, en elementar hodisalar quyidagi shartlarni qanoatlantirsin: 1) hodisalar juft-jufti bilan birgalikda emas, ya`ni istalgan ikkita ei va ej (i≠j) hodisa birgalikda ro`y bermaydi; 2) e1, e2, …, en hodisalardan birortasi albatta ro`y beradi; 3) e1, e2, …, en hodisalar teng imkoniyatli. Biror A hodisa e1, e2, …, en elementar hodisalar ichidan k k km е , е , ..., е 1 2 lar ro`y berganda ro`y bersin. Bu holda k k km е , е , ..., е 1 2 elementar hodisalar (ya`ni A hodisasining ro`y berishiga olib keladigan hodisalar) A hodisaga qulaylik tug`diradigan hodisalar deyiladi. Masalan, tangani ikki marta tashlash tajribasini qaraylik. Bu tajriba natijasida GG, GR, RG, RR elementar hodisalar ro`y beradi. A hodisa tangani ikki marta tashlaganda ikkala holda ham gerbli tomoni tushishi hodisasi (GG hodisasi) bo`lsin. Bu holda A hodisaga qulaylik tug`diradigan elementar hodisa faqat bitta bo`ladi (GG hodisa). Faraz qilaylnk, p ta e1, e2, …, en elementar hodisalardan t tasi A hodisaning ro`y berishiga qulaylik tug`dirsin. 23.8-ta`rif. Ushbu n m son A hodisaning ehtimoli deb ataladi va uni R(A) kabi yoziladi: R(A)= n m . Demak, A hodisaning ehtimoli A hodisaning ro`y berishiga qulaylik tug`diruvchi hodisalar sonining teng imkoniyatli barcha elementar hodisalar soniga nisbatiga teng. Misollar. 1. Yashikda yaxshilab aralashtirilgan 25 ta bir xil shar bo`lib, ulardan 5 tasi ko`k, 11 tasi qizil va 9 tasi oq shar bo`lsin. Yashikdan tavakkaliga bitta shar olinganda uning ko`k shar bo`lishi, qizil shar bo`lishi va oq shar bo`lishi ehtimollari topilsin. Ravshanki, jami elementar hodisalar soni p = 25 (5+11+9=25) bo`ladi. Aytaylik, A,V va S mos ravishda ko`k, qizil va oq shar chiqishidan iborat hodisalarni ifodalasin. m1, m2 va t3 esa mos ravishda bu hodisalarga qulaylik tug`diruvchi elementar hodisalar soni bo`lsin. U holda masala shartiga ko`ra m1=5, m2 = 11, t3 =9 bo`ladi. Ehtimolning klassik ta`rifiga ko`ra ( ) ( ) ( ) 0,36 25 9 0,44, 25 11 0,2, 25 5 = = = = = = Р С Р А Р В bo`ladi. Demak, tavakkaliga olingan sharning ko`k shar bo`lish ehtimoli 0,2 ga, qizil shar bo`lish ehtimoli esa 0,44 ga va oq shar bo`lish ehtimoli 0,36 ga teng. 2. O`tkazilayotgan tajriba, simmetrik, bir jinsli tangani uch marta tashlashdan iborat bo`lsin. Tajriba natijasida 2 marta gerbli tomoni tushish hodisasining ehtimoli topilsin. Tangani uch marta tashlashda ro`y berishi mumkin bo`lgan barcha elementar hodisalar to`plamini tuzamiz: Ω = { e1 = (GGG), e2 = (GGR), e3 = (GRR), e4 = (RRR), e5 = (RGR), e6 = (RRG), e7 = (GRG), e8 = (RGG)} bo`lib, bu to`plam elementlarining soni p = 8. Aytaylik, A hodisa tangani uch marta tashlaganda 2 marta gerbli tomoni tushishi hodisasi bo`lsin. Elementar hodisalar to`plami Ω dan ko`ramizki, barcha elementar imkoniyatlar soni p = 23 = 8, ulardan A hodisaga qulaylik tug`diruvchi elementar hodisalar soni t = 3 bo`ladi. Hodisa ehtimolining ta`rifiga ko`ra qaralayotgan A hodisaning ehtimoli ( ) 0,375 8 3 Р А = = bo`ladi. Hodisa ehtimolining ta`rifidan bevosita quyidagi xossalar kelib chiqadi. 1°. Har qanday A hodisaning ehtimoli 6 R(A)≥ 0 va R(A)≤ 1, ya`ni 0 ≤ R(A)≤ 1 bo`ladi. 2°. Muqarrar hodisaning ehtimoli 1 ga teng bo`ladi, ya`ni R(Ω)= 1. 3°. Mumkin bo`lmagan hodisaning ehtimoli nolga teng bo`ladi: R(V)=0. 2. Hodisa ehtimolining geometrik va statistik ta`riflari. Biz yuqorida o`rgangan ehtimolning klassik ta`rifidan unda bayon etilgan barcha elementar imkoniyatlar soni chekli bo`lgan holdagina foydalanish mumkin, aks holda bu ta`rifdan foydalaiib bo`lmaydi. Bunday holda hodisa ehtimoliga boshqacha ta`rif berishga to`g`ri keladi. Quyida hodisa ehtimolining geometrik va statistik ta`riflarini keltiramiz. Hodisa ehtimolining geometrik ta`rifi. Faraz qilaylik, tekislikda biror Q soha beralgan bo`lib, bu Q soha boshqa bir G sohani o`z ichiga olsin: G ⊂ Q . Q sohaga tavakkal qilib nuqta tashlanadi. Bu nuqtaning G sohaga tushishi ehtimolini ta`riflaymiz. Bu erda barcha elementar hodisalar to`plami Q sohadan iborat bo`ladi. Ravshanki, Q - cheksiz to`plam. Binobarin, bu holda ehtimolning klassik ta`rifidan foydalanib bo`lmaydn. Q sohaga tashlangan nuqta shu soxaning istalgan qismiga tushishi mumkin va nuqtaning Q sohaning biror G qismiga tushish ehtimoli G ning o`lchoviga proportsional bo`lib, u G ning shakliga ham, G ning Q sohaning qaeriga joylashishiga ham bog`liq bo`lmasin. Shu shartlarda ushbu mesQ mesG Р = miqdor qaralayotgan hodisaning geometrik ehtimoli deb ataladi. Bunda mes − Q va G sohalarning o`lchovini bildiradi. Misol. L uzunlikka ega bo`lgan kesmaga tavakkal qilib nuqta tashlangan bo`lsin. Tashlangan nuqtaning kesma o`rtasidan uzog`i bilan l masofada (2l
Agar ikkita A va V hodisalardan birining ro`y berishi ikkinchisining ro`i berish yoki ro`y bermasligiga bog`liq bo`lmasa, u holda bu hodisalar erkli hodisalar deyiladi. Yuqoridagi mulohazalarimizdan ravshanki, bu mavzuda faqatgina birgalikda bo`lgan hodisalar haqida fikr yuritiladi, chunkn birgalikda bo`lmagan hodisalarning birgalikda ro`y berish (ko`paytmasini) ehtimoli nolga teng. A va V hodisalar erikli hodisalar bo`lib, R(A) va R(V) ularning mos ehtimollari bo`lsin. 23.3-teorema. Ikkita erkli A va V hodisaning birgalikda ro`y bershi ehtimoli shu hodisalarning ehtimollari ko`paytmasiga teng: R(AV)=R(A)⋅R(V). Isbot. Shartga ko`ra A va V erkli hodisalar. Tajriba natijasida p ta elementar hodisaga ega bo`laylik. Bulardan n1 tasi A hodisaga qulaylik tug`dirsin. Tajriba natijasida t ta elementar hodisaga ega bo`laylik. Bulardan t1 tasi V hodisaga qulaylik tug`dirsin. Ravshanki, ( ) ( ) m m Р B n n Р А 1 1 = , = (23.7) Tajribalar natijasida ro`y beradigan barcha elementar hodisalar soni pt ta bo`ladi. Bulardan p1t1 tasi A va V hodisalarning birgalikda ro`y berishiga qulaylik tug`diradi. Demak, ( ) nm n m Р АВ 1 1 = bo`ladi. Bundan esa, yuqoridagi (23.7) munosabatni e`tiborga olib, ( ) Р() () А Р В m m n n Р А⋅ В = ⋅ = ⋅ 1 1 bo`lishini topamiz. 22.2-natija. A1, A2, …, Ap birgalikda bog`liq bulmagan hodisalar bo`lsin. U holda R(A1, A2, …, Ap)= R(A1)R(A2)…R(Ap) bo`ladi 8 Misol. Ikki yashikning har birida 10 tadan detal` bor. Birinchi yashikda 8 ta, ikkinchi yashikda 7 ta standart detal` bor. Har bir yashikdan tavakkaliga bittadan detal` olinadi. Olingan ikkala detalning standart bo`lish ehtimoli topilsin. echish. Birinchi yashikdan olingan detal` standart detal` bo`lishi hodisasini A, ikkinchi yashikdan olingani standart detal` bo`lishi hodisasini V deylik. Unda R(A)=10 8 =0,8, R(V)=10 7 = 0,7 bo`ladi. Ravshanki, olingan ikkala detalning standart detal` bo`lishi hodisasi esa AV hodisa bo`ladi. A, V birgalikda bo`lmagan hodisalardir. Shuning uchun 22.3 - teoremaga ko`ra R(AV)=R(A)⋅R(V) bo`ladi. Demak, R(AV)=R(A)⋅R(V)=0,8⋅0,7=0,56 bo`ladi. Bog`lik hodisalar ehtimollarini ko`paytirish teoremasini keltirishdan avval hodisaning shartli ehtimoli tushunchasi bilan tanishamiz. Biror A hodisa berilgan bo`lsin. Odatda bu hodisa ma`lum shartlar majmui S bajarilganda ro`y beradi. Agar A hodisaning ehtimoli R(A) ni hisoblaganda S shartlar majmuidan boshqa hech qanday shart talab qilinmasa, bunday ehtimol shartsiz ehtimol deyiladi. Ko`p hollarda A hodisaning extimolini biror V hodisa (R (V)>0) ro`y bergan degan shartda hisoblashga to`g`ri keladi. A hodisaning bunday ehtimoli shartli ehtimol deyiladi va R(A/V) kabi belgilanadi. Misol. Tangani 3 marta tashlash tajribasini qaraylik. Tajriba natijasida ro`y beradigan elementar hodisalar to`plami quyidagicha bo`ladi: Ω = {GGG, GGR, GRG, RGG, RRR, RRG, RGR, GRR}. Bu to`plam 8 ta elementdan iboratdir. Tanganing gerbli tomoni faqat bir marta tushish hodisasi A va kamida bir marta gerbli tomoni tushish hodisasi V bo`lsa, u holda extimolning klassik ta`rifiga asosan: R(A)= 8 3 , R(V)= 8 7 bo`ladi. R(A/V) shartli ehtimol esa R(A/V)= 7 3 ga teng bo`ladi. Endi bog`liq hodisalar ehtimollarini ko`paytirish teoremasinn keltiramiz. 23.4-teorema. Ikkita bog`liq hodisaning birgalikda ro`y berish ehtimoli ulardan birining ehtimolini shu hodisa ro`y berdi degan farazda hisoblangan ikkinchi hodisaning shartli eqtimoliga ko`paytmasiga teng: R(AV)=R(A)R(V/A). Misol. Yashikda 5 ta oq, 4 ta qora shar bor. Yashikdan qaytarib joyiga qo`ymasdan, bittalab shar olish tajribasi o`tkazilayotgan bo`lsin. Birinchi galda oq shar, ikkinchi galda qora shar chiqishi ehtimoli topilsin. echish. Birinchi galda oq shar chiqish hodisasini A, ikkinchi galda qora shar chiqish hodisasini V deb olaylik. Bu hodisalar bog`liq hodisalar bo`ladi. Hodisa ehtimoli ta`rifiga ko`ra R(A) = 5/9. Birinchi galda oq shar chiqqan holda, ikkinchi galda qora shar chiqishi ehtimoli (shartli ehtimoli) R(V/A) = 4/9 bo`ladi. Ravshanki, birinchn galda oq shar, ikkinchi galda qora shar chiqishi hodisasi A - V bo`ladi. Bu hodisaning ehtimolini yuqorida keltirilgan teoremadan foydalanib topamiz: R(AV)=R(A)R(V/A) = 81 20 9 4 9 5 ⋅ = . 23.2-eslatma. Agar A, V, S bog`liq hodisalar bo`lsa, u holda R(AVS) = R(A)R(V/A)R(S/AV) munosabatning o`rinli bo`lishini ko`rsatish mumkin. 9 Umuman, A1, A2, …, Ap bog`liq hodisalar uchun quyidagi formula urinli bo`ladi: R(A1A2 …Ap)= R(A1)R(A2/A1)R(A3/A1A2)…R(An/ A1A2 …Ap-1).

Xulosa.
Tasodifiy hodisalar tushunchasiga oz bo’lsada ko’nikma hosil qildim. Bir qancha ta’riflarini o’rgandim va amallar ustida qo’lladim.

Tasodifiy hodisalar hayot tarzimizda ham muhim ahamiyatga ega. Bir qancha tasodiflar o’zimda ham uchragan.
Foydalanilgan adabiyotlar
Matematika qo’llanma
Abuturentlar uchun qo’llanma
htpp//matematika.uz