Mavzu: Son tushunchasini kengaytirish masalasi. Kasr va manfiy son vujudga keltirishi haqida qisqacha tarixiy ma’lumot

Mavzu: Son tushunchasini kengaytirish masalasi. Kasr va manfiy son vujudga keltirishi haqida qisqacha tarixiy ma’lumot

Son tushunchasini kengaytirish.

Son tushunchasini kengaytirish masalasi. Kasr va manfiy son tushunchasining vujudga kelishi haqida qisqacha tarixiy ma'lumot.

Butun sonlar. Butun manfiy sonlar. Sonning moduli tushunchasi. Butun sonlar to’plamining xossalari va uning geometrik interpritatsiyasi. Son tushunchasini kengaytirish masalasi nomanfiy butun sonlar to’plamidan kompleks sonlar to’plamigacha bo’lgan barcha sonli to’plamlarni, ularning xossalarini, har birini tashkil etuvchi sonlarning ta'rifi va ular ustida bajariladigan amallar ta'rifi bilan qonun-qoidalarni o’z ichiga oladi.

Son tushunchasini kengaytirish

Natural sonlar, haqiqiy sonlar mavjud. Son tushunchasining kengayishi jarayonidagi dastlabki to’plam natural sonlar to’plami N bo’ladi. Juda qadim zamonlarda paydo bo’lgan natural son tushunchasi ko’p asrlar davomida kengaydi va umumlashtirildi. Miqdorlarni aniqroq o’lchashga bo’lgan talab musbat kasr sonlar tushunchasiga olib keldi. Manfiy sonlar tushunchasining paydo bo’lishi tenglamalarni yechish va nazariy izlanishlar bilan bog’liq. Manfiy sonlarning kiritilishi bilan butun sonlar to’plami Z da, hamda ratsional sonlar to’plami Q da nol soni teng huquqli songa aylandi. Bizning eramizgacha V asrda Pifagor maktabida musbat ratsional sonlar kesmalar uzunliklarini aniq o’lchash uchun yetarli emasligi aniqlangan va keyinroq bu muammo hal qilingandan keyin irratsional sonlar paydo bo’lgan. XVI asrda o’nli kasrlarning kiritilishi bilan haqiqiy sonlarga qadam qo’yildi. Haqiqiy sonlar tushunchasi sonlar qatorining oxirgisi emas.
Kasr tuhunchasi
Kasrlarning paydo bo’lish tarixi miqdorlarni o’lchash bilan bog’liq. Masalan, kesma uzunligini o’lchashda kasrlarning paydo bo’lishini aniqlaymiz. a kesma va e birlik kesma berilgan bo’lsin, ga teng bo’lgan n ta kesma yig’indisi.Teng m ta kesmadan tuzilgan bo’lsa uning uzunligi n/mko’rinishda bo’lishi mumkin. n belgi kasr deyiladi. Unda m va n – natural sonlar. Bu belgi quyidagicha o’qiladi: “n dan m”.

N kasrning maxraji, m kasrning surati.

Son — narsalarni sanash, miqdorni belgilash uchun qoʻllaniladigan matematik vosita; matematikaning asosiy tushunchalaridan biri. Narsalarni sanashga boʻlgan ehtiyoj tufayli eng sodda koʻrinishda ibtidoiy jamoa davrida vujudga kelgan, insoniyat faoliyati doirasining kengayishi bilan takomillashgan. Dastlab, butun musbat (natural) sonlar, keyinchalik cheksiz natural sonlar qatori (1, 2, 3, 4, 5...) tushunchasi kelib chiqdi. Natural va tub sonlar qatorlarining cheksizligi hamda yetarlicha katta sonlarni nomlash, belgilash masalalari miloddan avvalgi 3-asrdayoq yunon matematiklari Yevklid va Arximedning asarlarida taxlil qilingan. Sonlar ustidagi toʻrt amal qoidalarini oʻrganish bilan arifmetika shugʻullanadi. Son tushunchasining takomillashishi kasr son tushunchasini kiritish bilan boshlandi. Kasr son biror miqdorni oʻlchash, yaʼni bu miqdorni boshqa bir miqdor — oʻlchov bilan taqqoslash natijasida kelib chiqqan. Son tushunchasining keyingi takomillashishi fan rivojining natijasidir. Masalan, algebraning taraqqiyoti manfiy sonlar tushunchasiga olib keldi. 6—12 asrlarda hindlar masalalar yechishda manfiy sonlarni qoʻllagan edilar. Son tushunchasining rivojlanishiga oʻrta asr Sharq, matematiklari ham katta hissa qoʻshdilar. Yevropada manfiy sonlarni birinchi marta R. Dekart (17-asr) kiritdi. Hamma butun, kasr (musbat ham manfiy) sonlar va nol — ratsional sonlar deyiladi. Uzluksiz ravishda oʻzgaradigan miqdorlarni oʻrganish uchun irratsional son tushunchasi kiritiladi. 18—19-asrlarda algebrada tenglamalar nazariyasining rivojlanishi kompleks sonlar tushunchasiga olib keldi. Son tushunchasini va uning xossalarini 19-asrda nemis matematiklari G. Kantor, R. Dedekind, K. Veyershtrass va italiyalik matematik J. Peano oʻz ishlarida toʻla asoslab berdilar (yana q. Pi soni, Algebraik sonlar, Ratsional sonlar, Kompleks sonlar).

Agar kasrning surati maxrajidan kichik bo’lsa, bunday kasrga to’g’ri kasr, agar kasrning surati maxrajidan katta yoki unga teng bo’lsa, bunday kasrga noto’g’ri kasr deyiladi.

Ta’rif: e uzunlik birligida bitta kesmaning uzunligini ifodalovchi kasrlar teng kasrlar deyiladi. Masalan, va asrlar e uzunlik birligida bitta kesmaning uzunligini ifodalaydi. Shuning uchun ular teng.

Kasr (arabcha: كسر - boʻlak, parcha) — matematikada birning bitta yoki bir nechta qismidan (boʻlagidan) iborat son. Kasr ikkita butun sonning nisbati bilan ifodalanadi: n m {\displaystyle {\tfrac {n}{m}}} yoki n/m . Bu yerda m kasrning maxraji, n boʻlsa surati deyiladi. Maxraj chiziqning ostiga (yoki ketiga), surat boʻlsa chiziqning ustiga (yoki oldiga) yoziladi.

Maxraj bir sonni necha boʻlakka boʻlinganini koʻrsatadi, surat boʻlsa shu kasrda shunday ulushlardan nechta borligini koʻrsatadi. Masalan, 3 4 {\displaystyle {\tfrac {3}{4}}} kasrida surat 3 dir va u kasr teng uch boʻlakni ifodalashini koʻrsatadi. Maxraj boʻlsa 4 dir va u toʻrtta boʻlak bir boʻlib butunni hosil qilishini anglatadi.

Matematikada a b {\displaystyle {\tfrac {a}{b}}} koʻrinishida yozsa boʻladigan barcha sonlar ratsional sonlar toʻplamiga kiradi. Bu yerda a va b butun sonlardir va b 0 ga teng emas (b‡0).

Kasr sonlar yaqqol surat yoki maxrajli boʻlmasligi ham mumkin, masalan oʻnli kasr, foiz, manfiy darajalar (mos ravishda 0,01, 1% va 10⁻²; bularning har biri 1/100 ga teng). Butun sonni ham maxraji 1 ga teng kasr koʻrinishida yozish mumkin: masalan 7 va 7/1 bir-biriga teng.

Kasrlar nisbat va boʻlinmalarni ifodalashda ham ishlatiladi Masalan, 3/4 kasr 3:4 nisbat va 3 ÷ 4 boʻlinmani ifodalaydi.