Mavzu: Sirt orqali o’tadigan vektor maydon oqimi. Ostogradskiy teoremasi. Vektor maydon divergensiyasi reja

Ostrogradskiy teoremasi
Fazoda yopiq sirt bo’yicha olingan sirt integrali hamda shu sirt bilan chegaralangan va 0xy tekislikdagi ikki o’lchovli D to’g’ri sohaga proyeksiyalanuvchi to’g’ri uch o’lchovli ω soha bo’yicha olingan uch o’lchovli integral orasida bog’lanish o’rnatamiz.
1-teorema. Agar

vektor maydon proeksiyalari ω sohada o’zining birinchi tartibli xususiy hosilalari bilan birga uzluksiz bo’lsa, u holda yopiq sirt orqali vektor oqimi shu sirt bilan chegaralangan ω soha bo’yicha uch o’lchovli integral bilan
(3)
tenglik orqali bog’langandir, bunda integrallash sirtning tashqi tomoni bo’yicha amalga oshiriladi (normal tashqariga yo’nalgan).
(3) formula Ostrogradskiy formulasi deyiladi.
Isboti. sirtni uchta qismlarga ajratish mumkin va sirtning pastki qismi z=z₁(x,y), yuqori qismi z=z₂(x,y) ko’rinishdagi tenglamalarga ega bo’lib z₁(x,y), z₂(x,y) funksiyalar D sohada uzluksiz deb faraz qilamiz. Uchinchi qism esa yasovchisi 0z o’qqa parallel bo’lgan silindrik sirt.

uch o’lchovli integralni sirt integraliga almashtiramiz.
Buning uchun uni z bo’yicha integrallab ikki o’lchovli integralga keltiramiz:

D soha ham sirtning, ham sirtning 0xy tekislikdagi proyeksiyasi bo’lgani uchun oxirgi tenglikdagi ikki o’lchovli integrallarni ularga teng bo’lgan sirt integrallari bilan almashtiramiz. U holda
(2.5)
bo’ladi. Bu yerda sirtning tashqi tomonini uning ichki tomoniga almashtirdik.
silindrik sirtning normali 0z o’qqa perpendikulyar bo’lganligi sababli

bo’ladi. Buni hisobga olib (2.5) tenglikni
(2.6)
ko’rinishda yozish mumkin.
(2.7)
(2.8)
formulalarni ham shunga o’xshash hosil qilamiz.
(2.6), (2.7), (2.8) tengliklarni hadma-had qo’shib isbotlanishi lozim bo’lgan Ostrogradskiyning (2.3) formulasiga kelamiz.