Mavzu: Sirt orqali o’tadigan vektor maydon oqimi. Ostogradskiy teoremasi. Vektor maydon divergensiyasi reja

Vektor maydon divergensiyasi
0xyz fazoning ω sohasida

vektor maydon berilgan bo’lsin, bunda P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) funksiyalar ω sohada differensiallanuvchi.
2-ta’rif. ifoda vektor maydonning M nuqtadagi divergensiyasi deb ataladi va ko’rinishda yoziladi, bunda xususiy hosilalar M nuqtada hisoblanadi.
Demak, div .
Divergensiya tushunchasidan foydalanib, Ostrogradskiyning (3) formulasini vektor shaklda
(9)
kabi yozish mumkin.
Vektor maydonning divergensiyasi quyidagi xossalarga ega:
1)
2) , bunda C-o’zgarmas son;
3)
bunda u(M)-skalyar maydon funksiyasi.
Xossalarni isbotlashni o’quvchiga qoldiramiz.
O’rta qiymat haqidagi teoremani hisobga olib (9) tenglikni ko’rinishda yozish mumkin.
Bundan
tenglikka ega bo’lamiz, bunda V- ω sohaning hajmi, M₁- ω sohadagi biror nuqta.
ω soha M nuqtaga tortilganda yoki V→0 da M₁ nuqta M nuqtaga intiladi. Natijada limitga o’tib

yoki
(10)
ni hosil qilamiz.
Bu tenglikdan foydalanib vektor maydonning divergensiyasiga quyidagicha ta’rif berish mumkin.
3-ta’rif. M nuqtada vektor maydonning divergensiyasi deb, M nuqtani o’rab olgan yopiq sirt orqali o’tuvchi maydon oqimining shu sirt bilan chegaralangan ω sohaning V hajmiga nisbatining bu soha nuqtaga tortilgandagi, ya’ni V→0 dagi limitiga aytiladi.
Divergensiyaning keltirilgan ta’rifidan foydalanib divergensiya tushunchasiga fizik talqin beramiz.
Faraz qilaylik, ω sohada oqayotgan suyuqlikning tezliklari maydoni berilgan bo’lsin. U holda bo’lib, u berilgan nuqtadagi suyuqlik sarfining hajm birligiga nisbatini ifodalaydi.
>0 bo’lganda, suyuqlik sarfi musbat, ya’ni M nuqta manba bo’ladi.
<0 bo’lganda, M nuqta qurdum bo’ladi.
=0 bo’lganda, M nuqta na manba na qurdum bo’ladi.