Mavzu: Sanoqli va kontinual to’plamlar

1-xossa. Sanoqli to‘plamning har qanday qism to‘plami yoki chekli yoki sanoqli.
2-xossa. Chekli yoki sanoqlita sanoqli to‘plamlarning yig‘indisi yana sanoqli bo‘ladi.
Aytaylik A1, A2, ... – sanoqli to‘plamlar bo‘lsin. A1, A2, ... to‘plamlarning barcha elementlarini quyidagicha cheksiz jadval ko‘rinishida yozish mumkin:
i-qatorda Ai to‘plamning barcha elementlari turibdi. Ushbu elementlarni dioganal bo‘yicha nomerlab chiqamiz:
Shu bilan birga birnechta to‘plamlarga tegishli bo‘lgan elementlarni faqat bir marta belgilaymiz. Shunda yigindidagi har bir element o‘zining nomeriga ega bo‘ladi va natural sonlar qatori bilan chekli yoki sanoqlita to‘plamlar yig‘indisi o‘rtasida o‘zaro bir qiymatli moslik o‘rnatiladi.
3-xossa. Har qanday cheksiz to‘plam sanoqlita elementga ega bo‘lgan qism to‘plamga ega.
Teorema. Nol va bir oralig‘idagi haqiqiy sonlar to‘plami cheksizdir.
Isboti. Faraz qilaylik [0, 1] oraliqdagi haqiqiy sonlar sanoqli bo‘lsin. U holda bu sonlarni quyidagicha ifodalash mumkin:
haqiqiy sonni quyidagicha qoida bo‘yicha quramiz. Birinchi nol va vergul qo‘yamiz.
Keyin
larni quyidagicha tanlaymiz.
Shu printsipda barcha sonlarni ko‘rib chiqamiz. Natijada biror bir ai songa teng bo‘lmagan b son hosil bo‘ladi. Ushbu son birinchi sondan hech bo‘lmaganda verguldan keyingi birinchi soni bilan, ikkinchi sondan hech bo‘lmaganda verguldan keyingi ikkinchi son bilan farq qiladi va hokazo. Shunday qilib [0, 1] oraliqdagi sonlar to‘plami sanoqli degan taxminimiz noto‘g‘ri, chunki [0, 1] oraliqdan shunday son topdikki biz sanoqli deb sanab chiqqan sonlar ichida u yo‘q. Demak [0, 1] oraliqdagi sonlar to‘plami sanoqsiz.
Ushbu teoremaning isboti uqorida keltirilgan Kantorning dioganal protsedurasiga asoslangan.
[0, 1] kesmadagi nuqtalar to‘plami quvvati
kabi belgilanadi va kontinium deb nomlanadi.
[0, +∞) oraliq quvvati ham
gat eng, chunki : -ln[0, 1]=[0, +∞) biyeksiya o‘rinli. Aynan shu funksiya orqali [0, +∞) va (-∞, +∞) oraliqlar o‘rtasida biyeksiya o‘rnatish mumkin. Demak [0, 1], [0, +∞), (-∞, +∞) oraliqlar ekvivalent.
[0, 1]x[0, 1] kvadrat quvvati ham kontiniumga teng. Haqiqatdan ham A(x, y) nuqta
[0, 1]x[0, 1] kvadratga tegishli bo‘lsin. x va y larni quyidagi ko‘rinishda yozib olamiz: