Mavzu: O’rin almashtirishning hosil qiluvchi funksiyasi, guruhlashning hosil qiluvchi funksiyasi

Teorema 1. n ta elementi bo`lgan S to‘plamning barcha tartiblanmagan k elementli qism to‘plamlari soni

ga teng.

Ushbu teoremani umumlashtiramiz:

n ta elementi bo`lgan S to‘plamni k ta qism to‘plamlar yig‘indisi ko‘rinishida necha xil usulda yoyish mumkin degan savolni qo‘yamiz. Buning uchun S to`plamni o`zaro kesishmaydigan k ta qism to‘plamlarga ajratish mumkin bo`lsin. Bunda ularning elementlari soni mos ravishda

bo‘lib, berilgan sonlar uchun

shartlar bajariladi. to‘plamlar umumiy elementga ega emas.

S to‘plamning elementli qism to‘plamini usulda tanlash mumkin, qolgan element ichidan elementli qism to‘plamini usulda tanlash mumkin va hokazo. Turli xil qism to‘plamlarni tanlash usullari ko‘paytirish qoidasiga ko‘ra

Demak, quyidagi teorema isbotlandi.
Teorema 2. Aytaylik butun nomanfiy sonlar bo‘lib, va S to‘plam n ta elementdan iborat bo‘lsin. S ni elementlari mos ravishda ta bo‘lgan m ta qism to‘plamlar yigindisi ko‘rinishida ifodalash usullari soni

ta bo‘ladi.

sonlarga polinomial koeffitsiyentlar deyiladi.
Misol 4. “Baraban” so‘zidagi harflarni qatnashtirib, nechta so‘z (ma`nosi bo`lishi shart emas!) yasash mumkin?


Yechilishi: “b” harfi =2 ta,
“a” harfi =3 ta,

“r” harfi =1 ta,

“n” harfi =1 ta, jami harflar soni n=7 ta, demak,

.
Misol 5. “Lola” so‘zidagi harflardan nechta so‘z yasash mukin?
.
Teorema 2(a). Elementlarining tasi 1- tipda, tasi 2-tipda, va hokazo tasi m-tipda bo‘lgan n elementli to‘plamning barcha o‘rin almashtirishlar soni

ta bo‘ladi.