Mavzu: nogolonom tizimlarning

Нeголономная система — механическая система, все механические связи которой можно свести к геометрическим (то есть, к голономным). Такие связи сводятся к ограничениям только на положения тел системы. Уравнения связи  записывают в виде:

где  — координаты,  — время,  — число связей.
Если все кинематические связи системы невозможно свести к геометрическим связям или их уравнения связи не могут быть проинтегрированы, то данная система будетнеголономной.
Решение задач механики для голономных систем как правило проще, поскольку при этом можно воспользоваться многими разработанными методами и теоремами, например,уравнением Лагранжа, уравнением Гамильтона, уравнением Гамильтона-Якоби и др.

Пример

Математический маятник
Рассмотрим математический маятник, состоящий из точечной массы, подвешенной на нити в поле сил тяжести. Если считать, что длина нити не изменяется, то уравнение связи можно записать в виде:

где  — координаты массы  — длина нити.
Уравнение связи можно проинтегрировать, и как видно, оно не зависит от производных  и  , поэтому данная система — голономная.

НЕГОЛОНОМНАЯ СИСТЕМА - механическая система, в к-рой все наложенные связи являются геометрическими (голономными). Эти связи налагают ограничения только на возможные положения точек и тел системы в разные моменты времени, но не на их скорости, и выражаются математически ур-ниями вида

где  - координаты, t - время, k - число наложенных связей. Координаты точек системы должны при её движении удовлетворять как дифференциальным ур-ниям движения, так и ур-ниям связей (*). Связи наз. голономными и в том случае, когда они налагают ограничения на скорости точек системы, если ур-ния связи могут быть проинтегрированы и зависимости между скоростями сведены к зависимостям между координатами. Напр., при качении колеса по прямолинейному рельсу координата х центра колеса и угол  поворота колеса вокруг его центра связаны соотношением  , вытекающим из равенства  , где  - угловая скорость колеса, -скорость его центра, R - радиус колеса. Однако это соотношение сразу интегрируется и даёт  . Следовательно, указанная связь является голономной, а система - Г. с. Если же связи системы налагают ограничения не только на возможные положения точек системы, но и на их скорости, и выражаются математически ур-ниями, к-рые не могут быть непосредственно проинтегрированы, то такие связи наз. неголономными, а система с такими связями наз.неголономной системой. Так, для шара, катящегося по шероховатой горизонтальной плоскости, ур-ния, выражающие тот факт, что точка касания шара имеет скорость, равную нулю, не могут быть проинтегрированы, и эта система является неголономной. Разделение механич. систем на голономиые и неголономные весьма существенно, так как к Г. с. применимы многие сравнительно простые ур-ния механики и общие принципы, к-рые не справедливы для неголономных систем. Движение Г. с. может изучаться с помощью Лагранжа уравнениймеханики, Гамильтона уравнений, Гамильтона - Якоби уравнения, а также с помощью наименьшего действия принципа в форме Гамильтона - Остроградского или Мопертюи - Лагранжа. К Г. с. приложимы также все те общие теоремы механики и дифференциальные вариационные принципы механики ,к-рые справедливы и для неголономных систем.