Mavzu: matritsaviy sohalarni avtomorfizmi haqida

MAVZU: MATRITSAVIY SOHALARNI AVTOMORFIZMI HAQIDA
REJA:
I. Bob. Golomorf akslantirishlar.
1.1. Golomorf funksiyalar. Konform akslantirishlar
1.2. Kasr chiziqli izomorfizm va avtomorfizm
1.3. fazoda golomorf funksiya tushunchasi. Golomorf funksiyalarnig sodda xossalari
1.4. fazoda golomorf akslantirishlar.
II. Bob. fazodagi soholarning avtomorfizmlari.
2.1 Shar avtomorfizmlari
2.2 Polidoira avtomorfizmlari
2.3*. Yuqori yarim tekislik avtomorfizmi
III. Bob. Matritsaviy sohalarning avtomorfizmlari ( va fazodagi sohalarning avtomorfizmlari).
3.1. va fazodagi sodda sohalar
3.2. Klassik sohalarning avtomorfizmlari
3.3. Matritsaviy shar avtomorfizmlari

KASR CHIZIQLI FUNKSIYA

Kasr chiziqli funksiya quyidagicha nisbat bilan belgilanadi:
(1)
Bu yerda -fiksirlangan kompleks son, -kompleks o’zgaruvchi
,


,
o’zgarmas songa teng bo’lib qolmasligi uchun.
Agar bo’lsa (1) funksiya

chiziqli funksiya bo’ladi.

1. 
   funksiya va cheksiz nuqtalarda
   

shundan da (1) funksiya
da (1) funksiya deb qabul qilamiz.
Teorema1: (1) kasr chiziqli funksiya ni ga o’zaro bir qiymatli uzluksiz, ya’ni gomeomorf akslantiradi.
,
(2)
,
Agar
bo’lsa ,
bo’lsa
Demak, (1) funksiya ni ga o’zaro bir qiymatli akslantiradi.
(1) funksiya , nuqtalarda uzluksiz

Endi biz ning hamma nuqtalaridagi burchak saqlashini ko’rsatamiz.
, nuqtalarda funksiya hosilasi mavjud.


Ta’rif: va chiziqlarning nuqtadagi hosil qilgan burchagi va chiziqlarning
(3)
nuqtadagi akslantirish natijasida hosil bo’lgan burchagi tushiniladi.
Bu formula ta’rifining geometrik ma’nosini keltiramiz:
dagi : unga mos keluvchi streografik proeksiyasini topamiz.
: markazi , bo’lgan sfera olamiz
( -sfera)






, , (4)
,


Teorema2: (1) kasr chiziqli akslantirish ning barcha nuqtalarida konform.
va nuqtaladan o’tuvchi va burchak hosil qiluvchi chiziqlar bo’lsin.
va nuqtalardagi nuqtaga mos keluvchi akslantirish
va , nuqtadagi va akslantirish
hosilasi

Agar nuqta mavjud va 0 ga teng bo’lmasa, nuqtadagi va orasidagi burchak ga teng. nuqta uchun teorema isbotlandi. nuqtasi uchun isbotlash uchun (2) ga (1) ni teskari funksiya funksiya sifatida qarash yetarli.
: ,
: ,
va ning ko’paytmasini va ning kompazitsiyasi deb ataymiz, ya’ni
:
larning kasr chiziqli ekanligi ma’lum

(Kasr chiziqli funksiyada o’rniga ifodasini qo’ysak yana kasr chiziqli funksiya paydo bo’ladi.)
Gruppa aksiomalarining xossalarini eltirib o’tamiz:

1. 
   assotsiativlik. Har qanday 3 ta
   

(8)
(8) ning har ikkala qismini ham kasr chiziqli akslantirish

2. 
   birlik elementlarning mavjud bo’lishi:
   

(9)
v) teskari elementlarning mavjud bo’lishi:

(10)

1. 
   akslantirishning teskari elementi (2) akslantirish hisoblanadi.