Mavzu: matritsaviy sohalarni avtomorfizmi haqida

Teorema1: Agar akslantirish nuqtaning atrofida golomorf akslantirish bo’lsa, ning haqiqiy yakobiani kompleks yakobiani moduli kvadratiga teng:
(6)
Teorema2: -soha, nuqtaning atrofida -golomorf akslantirish. Agar yakobian bo’lsa, u holda dagi nuqtaning atrofida o’zaro bir qiymatli bo’ladi va teskari akslantirish nuqtada golomorf bo’ladi.
, , matritsa matritsaga teskari matritsa.
teorema1 bo’yicha haqiqiy yakobian bo’lganligi sababli nuqtaning atrofida ning teskari sinfga tegishli .
Kompleks funksiyani differensiyalash teoremasi bo’yicha da o’rinli, uchun (zanjir tenglama)
golomorf bo’lgani uchun

yetarli kichik bo’lsa,

barcha larda

Teorema3: lar nuqtalar atrofida golomorf bo’lsa, bu yerda
tenglamalar sistemasi larga nisbatan yechiladi va ( ) yechim nuqtalar atrofida golomorf bo’ladi.
Oldingi teoremadagidek, sistemani yechish v yechimning silliqligini (
Haqiqiy analizdan kelib chiqadin. Shuning uchun atrofida ( ) o’rinli va ga nisbatan quyidagich yozishimiz mumkin.

golomorfligidan shart bo’yicha
Natijada -golomorf
Teorema4: sohadagi nuqtaning atrofida -golomorf akslantirish bo’lsin. Agar nuqtaning atrofida o’zaro bir qiymatli bo’lsa, yakobian bo’ladi.
bo’yicha induksiyadan foydalanamiz. uchun isbot qilingan dan kichkina barcha o’lchamlar uchun o’rinli bo’lsin. Faraz qilaylik, bo’lsin va matritsaning rangini bilan belgilaymiz. Agar bo’lsa, umumiylikni yo’qotmasdan . U holda 3- teorema bo’yicha tenglamalar sistemasi golomorf funksiyalarga nisbatan yechiladi va shuning uchun ba’zi bir atrofida yangi local koordinatalar sifatida uchun va uchun ni olishimiz mumkin.
akslantirishning yangi koordinatalari (biz ularni yana deb belgilaymiz) ko’rinishi
,

va yakobian
(7)
Oxirgi aniqlovchi nuqtada nolga teng. (n-k) o’lchamdagi tekislik akslantirishda tekislikka o’tadi va natijada