Mavzu: Matrisaning xos son va xos qiymatlarini taqribiy hisoblashni Krilov usuli

Mavzu: Matrisaning xos son va xos qiymatlarini taqribiy hisoblashni Krilov usuli.
Matrisaning xos vektorlarini topish. Endi xos vektorlarni topish masalasiga o’tamiz.
Faraz qilaylik,

Ikkinchi xos son va unga mos keladigan xos vektorni topish.



Natijada

ga ega bo’lamiz.
Tozuvni qisqartirish maqsadida ning - ayirmasi deb ataluvchi quyidagi



Bu tengliklarni komponentlarda yozib, quyidagi taqribiy tengliklarga ega bo’lamiz:

Krilovning xos son va xos vektor topish metodi

Akademik A.N.Krilov 1931 yilda xos sonlar muammosini yechishning qulay
metodini yaratadi. U o’z metodining g’oyasini tushuntirish uchun berilgan matrisa
bilan bog’liq bo’lgan oddiy differensial tenglamalar sistemasini kiritadi va uning ustida almashtirish olib boradi. Bu almashtirishning algebraik mohiyatini aniqlash
bilan N.N.Luzin, I.N.Xladovskiy, F.R.Gantmaxer, D.K.Faddevlar shug’ullanishgan.Biz bu yerda A.N.Krilov metodining manna shu algebraik interpretasiyasini ko’rib chiqamiz. Matrisalarning minimal ko’phadlari. Avval chiziqli algebradan ayrim ta’rif va teoremalarni keltiramiz. Agar A kvadrat matrisa uchun

tenglik o’rinli bo’lsa, u holda

ko’phad A matrisa uchun nolga aylantiruvchi ko’phad deyiladi. Faqat keltirilgan,
ya’ni bosh koeffisiyenti birga teng bo’lgan ko’phadlarni qaraymiz. Bunday ko’phadlarning to’plami bo’sh emas, Gamilton-Keli teoremasiga ko’ra A matrisaning xos ko’phadi uning nolga aylantiruvchi ko’phadlaridir: Demak, n- tartibli ixtiyoriy kvadrat matrisa uchun - darajali nolga aylantiruvchi ko’phad mavjud. Bunday ko’phad yagona emas, chunki agar ga bo’linadigan har qanday boshqa ko’phad ham nolga aylantiruvchi ko’phad bo’ladi. matrisani nolga aylantiruvchi ko’phadlar orasida eng kichik darajaga ega bo’lgan yagona ko’phad mavjud. Bu ko’phad matrisaning minimal ko’phadi deyiladi. Har qanday nolga aylantiruvchi ko’phad, shu jumladan matrisaning xos ko’phadi ham minimal ko’phadga bo’linadi. Minimal ko’phadning ildizlari xos ko’phadning barcha bir-biridan farqli ildizlaridan iboratdir.
Yana quyidagi tushunchani kiritamiz. Faraz qilaylik, biror vektor bo’lsin.
Ma’lumki, o’lchovli fazoda tadan ortiq chiziqli erkli vektor bo’lishi mumkin
emas. Shuning uchun

vektorlar orasida chiziqli bog’lanish mavjuddir. Hattoki, ixtiyoriy vektor uchun
ham

chiziqli bog’lanish mavjud. Demak, matrisaning minimal ko’phadining darajasi dan kichik bo’lsa, (8) sistemada chiziqli erkli vektorlarning soni dan kichikdir. Berilgan vektor uchun

tenglikni qanoatlantiradigan ko’phadlar orasida bosh koeffisiyenti birga teng
bo’lgan eng kichik darajali yagona ko’phad mavjudki, uning uchun

tenglik o’rinli bo’ladi. Bunday ko’phad vektorning minimal ko’phadi deyiladi va u (10) tenglikni qanoatlantiruvchi ko’phadning bo’luvchisi bo’ladi. Xususiy holda, ixtiyoriy vektorning minimal ko’phadi matrisa minimal ko’phadi ning bo’luvchisi bo’ladi. Agar (8) sistemada vektorlar chiziqli erkli bo’lib, ularga chiziqli bog’liq bo’lsa,

u holda

ko’phad A matrisaning minimal ko’phadi ga yoki uning bo’luvchisi ga teng.
Minimal ko’phadni topish. Endi A.N.Krilov metodini ko’rib chiqamiz.
Ixtiyoriy noldan farqli vektorni olib,

vektorlar ketma-ketligini tuzamiz. Yuqorida aytganimizdek, bu vektorlar orasida
(12)
chiziqli kombinasiya mavjuddir. Agar buni koordinatalarda yozib olsak, larni topish uchun quyidagi chiziqli algebraik tenglamalar sistemasiga ega bo’lamiz:

Bu sistemaning determinanti

faqat vektorlar chiziqli erkli bo’lgandagina noldan farqlidir,
chunki bu determinantning ustunlari shu vektorlar koordinatalaridan tuzilgan.
Agar Gauss metodining to’g’ri yurishidagi barcha n qadam bajarilib, (13)
sistema quyidagi

uchburchak shaklga keltirilsa, u holda bo’lib, vektorlar
chiziqli erklidir. U vaqtda (14) sistemadan qaralayotgan kombinasiyaning
koeffnsiyentlari ni topa olamiz.
Agar Gauss metodidagi to’g’ri yurishning faqat m ta qadami bajarilsa, u holda
faqat avvalgi m ta torlar chiziqli erkli bo’ladi. Kerakli

chiziqli kombinasiyani koordinatalarda yozib olamiz:

Bu sistemadan Gauss metodi yordamida m ta chiziqli erkli tenglamalarni ajratib olib, koeffitsientlari topamiz
Shunday qilib, biz m=n bo’lganda A matrisaning xos ko’phadini va mko’raylik. Bu xolda (11.12) chiziqli kombinasiyaning koeffisiyentlari

xos ko’phadning mos ravishda koeffisiyentlariga teng:

Haqiqatan ham, Gamilton-Keli teoremasiga ko’ra

Bu tenglikni vektorga ko’paytirib va

larni hisobga olib,

ga ega bo’lamiz. Bu tenglikni (12) dan ayirib,
(16)
ni hosil qilamiz.
vektorlar chiziqli erkli bo’lganligi uchun (16) tenglik
faqat bo’lgandagina bajariladi.
Demak, bo’lganda qurilgan chiziqli kombinasiyaning ko’rinishiga qarab, A matrisaning xos ko’phadini yozish mumkin. tenglamani yechib matrisaning barcha xos sonlarini topamiz. Agar m

ko’rinishga ega bo’dadi. Endi larni hisobga olib (10)
tenglikni

Yoki

ko’rinishda yozib olamiz. Bu yerda

Demak, izlanayotgan kombinasiyaning koeffisiyentlari vektorning
minimal ko’phadi ning koeffisiyentlaridir. Bunday ko’phad vektorlar chiziqli erk-li bo’lganligi uchun yagonadir.
Shunday qilib, m ning bo’luvchisini topamiz va tenglamani yechib, matrisaning bir qism xos sonlarini topamiz. Dastlabki vektorni boshqacha tanlab, qolgan xos sonlarni ham topish mumkin. Shu bilan
birga yangi tanlangan vektor oldin aniqlangan vektorlarning chiziqli kombinasiyasi
bo’lmasligi kerak.
Matrisaning xos vektorlarini topish. Endi xos vektorlarni topish masalasiga
o’tamiz. Faraz qilaylik,

minimal ko’phadning ildizi bo’lsin (keyingi mulohazalar m=n va m
uchun bir xil). A matrisaning xoc soniga mos keladigan xoc vektorini oldingi
punktda topilgan vektorlarning chiziqli kombinasiyasi shaklida
izlaymiz:

Bu tenglikni A ga ko’paytirib va ham tengliklarni hisobga

olib,

ga ega bo’lamiz. Bundan tashqari, yana

ni hisobga olsak, u holda (19) ni

Yoki


ko’rinishda yozib olishimiz mumkin. Bundan vektorlarning
chiziqli erkliligini hisobga olsak,

tengliklar kelib chiqadi. Oxirgi tenglikdan boshlab, ketma-ket larni topamiz:

Oxirgi tenglik barcha lar uchun o’rinlidir, chunki

Bu tenglikdan hisoblashni kontrol qilish uchun foydalanish mumkin. Hisoblashni
soddalashtirish maqsadida olishimiz mumkin. Un da qolganlari quyiodagicha topiladi.
(20)
Bularny hisoblashda Gorner sxemasidan foydalanish ma’quldir. Agar berilgan xos
songa A matrisaning bir necha xos vekto ri mos kelsa, u holda ularni izlash uchun
boshqa dastlabki vektorni tanlab olib, shu hisoblash jarayonini takrorlash mumkin.
Danilevskiy va lovere usullaridan foydalanib matrisaning xos son va xos vektorini toppish
Berilgan matritsa o‘xshash almashtirish yordamida Frobenius

normal ko‘rinishiga keltiriladi. Ma’lumki, P matritsaning xarakteristik ko‘phadi. bo’ladi.

hosil qilinadi, so‘ng hosil bo’ladi.
Har qadamdagi o‘ngdan va chapdan ko‘paytiriladigan matritsalarni
ko‘rinishini yozamiz



va hokazo. Natijada A matritsa Frobenius normal ko‘rinishiga keladi.


bu yerda

bo‘lib, u P matritsaning xos vektoridir.
Danilevskiy metodidagi noregulyar hol. Danilevskiy metodining (n-k)- qadami bajarilgan bo‘lsin va matritsaning elementi nolga teng
bo‘lsin. Navbatdagi (n-k+1)- qadamni odatdagidek bajarib bo‘lmaydi. Bunda
agar matritsaning elementidan hamda, masalan, i-element bo‘lsa, (k-1)-ustunni i-ustun bilan almashtiramiz va
xuddi shu nomerli satrlarni almashtirib yozamiz. Bunday almashtirishdan so‘ng
odatdagidek Danilevskiy usulini davom ettiramiz. Faraz qilaylik,

bo‘lsin. U holda quyidagicha ko‘rinishga ega bo‘ladi

Bu yerda Frobenius normal formasiga ega bo‘lgan (n-k+1) tartibli
kvadrat matritsadir. esa (k-1)- tartibli kvadrat matritsa bo’lib, uni
odatdagidek Danilevskiy usuli bilan Frobenius normal ko‘rinishga keltirish
mumkin.