81
Xorazmiy qoidasi bo‘yicha bu tenglamani echish usulini hozirgi belgilashlarda ham
bajarsak, (misolda a=1, B=10, C=21); Echish: Hozirgi belgilashlarda:
1) Ildiz sanog‘ini yarimlat, bu 5 bo‘ladi;
5
2
10
2
b
2) Yarimlangan
ildiz sanog‘ini o‘z-o‘ziga ko‘paytir – bu 25 bo‘ladi;
25
5
5
2
2
2
2
b
b
b
;
3) Yarimlangan ildiz sanog‘ining kvadratidan yigirma birni ayir, bunda 4 qoladi;
4
21
2
10
2
5
2
c
b
4) To‘rtni kvadrat ildizdan chiqarsang 2 bo‘ladi;
2
4
21
2
10
2
2
c
b
5) Yarimlangan
ildiz
sanog‘idan
2
ni
ayirsang
3
bo‘ladi;
3
2
5
2
10
2
10
2
2
2
2
c
c
b
b
6) Agar
xohlasang yarim ildiz sanog‘iga 2 ni qo‘shsang 7 bo‘ladi;
7
2
5
21
2
10
2
10
2
2
2
2
c
b
b
Oxirida
har
ikkalasi
izlangan
ildiz
bo‘ladi,
ya‘ni
2
5
21
2
10
2
10
2
2
2
2
2
1
c
b
b
x
, x
1
=3, x
2
=7
Agar
2
2
b
>c bo‘lganda V ko‘rinishdagi kvadrat tenglamalarning hamma vaqt ikkita
musbat ildizi birligini e‘tiborga olib Xorazmiy – bu ko‘rinishdagi tenglamalarning ildizlarini topish
uchun yarim ildiz sanog‘iga ildizdan chiqqan sonni qo‘shish va ayirish amalini ishlatish zarur,
deydi. Agar
2
2
b
mumkin emas‖ va agar
2
2
b
=c bo‘lsa tenglamaning ildizi, ildiz sanog‘ining yarmiga teng deydi.
IV va VI tur tenglamalarining har birining birgina musbat ildizi borligini nazarda tutib, bu
ko‘rinishdagi tenglamalarda
faqat birgina ildiz bor, deb uqtiradi.
Xorazmiy yuqorida ko‘rsatilgan (3.1) tenglamani echish qoidasining to‘g‘ri ekanligini
geometrik metod bilan VI bobda isbot qiladi. Uning isbotini hozirgi simvollar bilan ko‘rsatilsa
quyidagicha bo‘ladi. Uzunligi ildiz sanog‘i 10 ga teng ND kesmaga tomoni noma‘lum X bo‘lgan
kvadrat AD ni yasaydi. (9-shakl)
b x
82
9-shakl.
5
Kesmaning
qolgan
qismini
bir
tomoni AB ga teng to‘g‘ri to‘rtburchak EB ga to‘ldiradi; ED to‘g‘ri to‘rtburchakning yuzi S
ED
=10x
va S
AD
= x
2
(3.2) bo‘ladi. (3.1) tenglama va (2) tenglikni e‘tiborga olganda, to‘g‘ri to‘rtburchak EB
ning
yuzi S
EB
= 21 bo‘lishi kerak.
Berilgan kesma ND o‘rtasidan FK perpendikulyar chiqarib, uning davomiga tomoni (5-x)
bo‘lgan kvadrat LH yasaladi. Qolgan qismiga MQ to‘g‘ri to‘rtburchakni joylashtirish natijasida
tomoni 5 va yuzi S
MF
= 25 (3.3) ga teng bo‘lgan MF katta kvadrat hosil bo‘ladi. Shakldagi MQ, QF
va HB to‘g‘ri to‘rtburchakning o‘lchovlari x va 5-x ga teng, shuning uchun ular bir-biriga tengdir,
ya‘ni S
MQ
+S
QF
=S
HB
=x(S-x); demak S=S
M
=21. (3.4). kichkina kvadrat KH ning yuzini
shunday
almashtirish mumkin; S
MF
-
SM
=S
(3.5)
(3.5), (3.3) va (3.4) tenglamalardan: 25-21=(5-x)
2
yoki (5-x)
2
=4 (3.6)
Kichik kvadrat LH ning bir tomoni 5-x=2 bundan x=3 bo‘ladi. Demak, noma‘lum
kvadratning tomoni AD=3; bu (3.1) tenglmaning bitta echimi bo‘ladi.
Berilgan (3.1) tenglamaning ikkinchi ildizi to‘g‘ri ekanligini isbotlashda shakl bir oz
o‘zgartirib chiziladi. Berilgan DN=10 kesmaga tomoni DB=x bo‘lgan CB kvadrat yasaladi.
Kesmaning qolgan qismi BN ga ikkinchi tomoni EN=x bo‘lgan to‘g‘ri to‘rtburchak AN chiziladi
(2-shakl).
Bu holda S
CN
=10x, S
CB
=x
2
va S
CN
=S
CB
+S
AN
yoki 10x=x
2
+S
AN
(3.7)
(3.1) va (3.7) dan S
AN
= 21 (3.8) DN kesmaning o‘rtasidan tomonlari FB=FH=x-5 ga teng
bo‘lgan HB kvadrat chiziladi, kvadratning HQ tomoniga ikkinchi tomoni HK=BN=ZM=10-x ga
teng bo‘lgan KQ to‘g‘ri to‘rtburchak chizilganda, tomoni 5 va yuzi S
KN
=25 (3.9) ga teng bo‘lgan
KN kvadrat hosil bo‘ladi. Yasalgan KQ, QN va AM to‘g‘ri to‘rtburchaklarning bir-biriga
tengligidan S
AN
=S
HKMNBQ
=21 va kichik kvadratning yuzi: S
HB
=(x-5)
2
(3.10) shakldan S
KN
-
S
HKMNBQ
=S
HB
(3.9) va (3.10) dan: 25-21=(x-5)
2
(3.11) yoki 4=(x-5)
2
; CB kvadratning tomoni x-
5=2; bundan x=7. Bu (3.1) tenglamaning ikkinchi ildizi. Shunday qilib, Xorazmiy ―Geometrik
algebra‖ metodidan foydalanib (3.1) tenglamani echish qoidasini to‘g‘ri ekanligini isbot qiladi.
Xaqiqatdan (3.6)va (3.11) tengliklarning shakli quyidagicha ketma-ket aynan almashtirish
natijasida o‘zgartirsak, yuqorida ko‘rsatilgan formula hosil bo‘ladi:
(3.6) dan:
(3.11) dan:
25-21=(5-x)
2
25-21=(x=5)
2
21
25
5
Do'stlaringiz bilan baham: 
