Мавзу: Математика фанининг тарихи, методи ва метадалогияси

x
ga  teng,  uning  yuzi 
25
2
10
4
2



x
x
  yig‘indidan  yoki  x
2
+10x+25=39+25=64  dan  iborat,  ya‘ni  katta  kvadratning  SE 
tomoni 
8
64

  bo‘ladi.  Demak, 
8
2
10


x
  yoki  x+5=8,  bundan  x=3.  Noma‘lum  ―x‖  ni  yana 
bunday 
ifodalash 
mumkin: 
39
25
64
2
10




x
. 
Bundan 
8
64
39
25
39
4
10
4
2
10
2














x
 
yoki 
3
5
8



x
. 
Bundan 
2
10
39
4
10
4
2










x
. 

---

 
78 
Agar  bu  formula 
c
bx
x


2
  tenglamaga  tatbiq  etilsa: 
2
4
4
2
b
c
b
x










  yoki  
2
2
2
b
c
b
x









 bo‘ladi. 
Xorazmiy  x
2
+bx=c  tenglamani  yana  boshqa  bir  shakl  bilan  tushuntiradi:  bunda  AB 
kvadrat,  ya‘ni  x
2
  olinadi,  balandligi  5  ga  teng  ikkita  to‘g‘ri  to‘rtburchak  yasaladi.  Bu  shaklni  CE 
kvadratga  to‘ldirish  uchun  tomoni 
5
2
10

  bo‘lgan  kvadrat  olinadi.  Katta  CE  kvadratning    yuzi 
x
2
+10x+25=39+25=64  bo‘ladi.  Katta  kvadrat  SE  ning  tomoni  esa  x+5=8  bo‘lib,  bundan  x=3 
bo‘ladi. (2-shakl)  
          C 
 
         A  
    X
2
 
b 
 
 
5 
x 
E 
Xorazmiy,  kvadrat  tenglamalarni  e‘tiborga  olmaydi.  Shuni  qayd  etish  kerakki,  Xorazmiy 
asarlarida  son  tushunchasi,  yunon  matematiklariga  qaraganda  ancha  keng  miqyosda  qo‘llaniladi, 
ya‘ni  uning  asarlarida  irrastional  sonlar  tushunchasi  ham  uchraydi,  ammo  u  manfiy  ildizlarni 
qaramaydi. 
Shunday  qilib  hozirgi  belgilashlarga  asosan 
0
2



c
bx
x
  shaklida  yoziladigan  kvadrat 
tenglamaning  ildizlarini  topish  formulasi: 
c
b
b
x










2
2
2
  birinchi  marta  Xorazmiy  asarlarida 
uchraydi. Bunda u c>
2
2






b
bo‘lgan holda, masalaning echilishi mumkin emas deb yozadi. 
5. ―Kvadratlar va son ildizlarga teng‖, ya‘ni 
bx
c
ax


2
  shaklidagi  kvadrat  tenglamani, 
masalan, 
x
x
10
21
2


 ni echish uchun Xorazmiy shunday yozadi: ―agar sen aytsangki, kvadrat va 
yigirma bir dirham o‘nta ildizlarga teng, u vaqtda buning ma‘nosi shuki, agar kvadratga yigirma bir 
dirham qo‘shilsa, o‘nta ildiz hosil bo‘ladi‖. 
So‘ngra quyidagi qoidani bayon etadi: ―Ildizlar sonini ikkiga bo‘l, 5 chiqadi, uni o‘z-o‘ziga 
ko‘paytir, 25 bo‘ladi, bundan 21 ni ayir, 4 qoladi. Bundan ildiz chiqar, ikki bo‘ladi. Buning ildizlar 
sonining yarmidan, ya‘ni beshdan ayir, 3 qoladi. Mana shu sen izlagan kvadratning ildizi bo‘ladi. 
Agar bu ildizni ildizlar sonining yarmiga qo‘shsang, 7 bo‘ladi, bu ham sen izlagan kvadrat 
tenglamaning ildizi bo‘ladi, kvadratning o‘zi esa 49 bo‘ladi. 
Hozirgi belgilashlarga asosan bu jumlalar ma‘nosini 
21
2
10
2
10









x
  formula bilan 
ifodalash mumkin. ―Qachonki, sen shu holda to‘g‘ri keladigan misol uchratsang, avval uni echishni 
qo‘shish bilan sinab ko‘r va bu ish maqsadga olib kelmasa, u vaqtda ayirish albatta maqsadga olib 
keladi, chunki  bu holda ham qo‘shish  ham ayirishni  tatbiq etish mumkin‖. Xorazmiy  qo‘shish va 
ayirishni tatbiq etish boshqa hollar uchun, masalan, 4 va 6-shakldagi hollar uchun tatbiq etilmaydi, 
deb  yozadi,  chunki  u  vaqtda  manfiy  ildiz  ham  kelib  chiqadiki,  bu  holni  Xorazmiy  mumkin 
bo‘lmagan hol deb qaraydi. 
                   
                                 A             E               B              F             A             
C                                                                 
 
M 
 
                  K 
                  H 
                L 
                G 
 
 
 
 
 
 
              K 

---

 
79 
 
G 
E 
    
D                    F            B 
W          D              H                C 
                  4-shakl                                                  6-shakl. 
Xorazmiy, agar tenglamadagi x
2
 oldida koefistient bo‘lsa, avval tenglamaning hadlarini u 
koefistientga bo‘lib, so‘ngra aytilgan qoida bo‘yicha tenglamalarni echish mumkinligini qayd etadi. 
Shunday  qilib,  x
2
+s=bx    umumiy  shakldagi  tenglamani  echish  uchun  Xorazmiyning 
qoidasini