Мавзу: Математика фанининг тарихи, методи ва метадалогияси

 
2.Ibn Sinoning fizika va matematika fanlariga doir asarlari. 
 
Entsiklopedist  olim  ibn  Sinoning  ko`p  asarlarida,  shu  jumladan  «Ash  -  shifo»  va 
«Donishnoma»  asarlarida  fizika  va  matematika  fanlariga  bag`ishlangan  maxsus  bo`limlar  bor. Bu 
bo`limlarda  fizika,  geometriya,  astronomiya,  arifmetika  va  muzika  nazariyasiga  doir  masalalar 
bayon etilgan.   

---

 
32 
Mashhur  olim  ibn  Sino  o`zining  ilg`or  va  olijanob  g`oyalarini  ommaga  etkazib,  xalq  uchun 
qo`lidan  kelganicha  ko`proq  asarlar  yaratish,  o`z  asarlari  orqali  yosh  avlodga  fan  asoslarini 
o`rgatish  va  o`qitishni  asosiy  maqsad  qilib  oldi.  SHuning  uchun  ham  olimning  «Ash  -  shifo»  va 
«Donishnoma» asarlarida «kvadrivium»ga katta ahamiyat berilgan va bu bo`limlar, o`quvchilarga 
tushunarli bo`lishi uchun, sodda tilda bayon etilgan. 
Ibn Sino o`z «kvadrivium»ini yozishda mashhur yunon klassik olimlari Evklidning (eramizdan 
ilgarigi  III  asr  )  «negizlar»,  Ptolomeyning  (II  asr)  ―Almagest‖,  ―Garmoniya  haqidagi  ta`limot‖ 
asarlari  va  Nikomaxning  (I  asr)  ―Arifmetikaga  kirish‖,  shuningdek  Forobiyning  (873  -  950) 
―Muzika to`g`risida katta kitob‖ asarlarini asos qilib oldi. 
―Ash  -  shifo‖  asarida  ―kvadrivium‖,  ya`ni  matematikaga  doir  bo`limlar:  ―Qisqartirilgan 
Evklid‖,  ―Qisqartirilgan  Almagest‖,  ―Sonlar  fani‖,  ―Muzika  fani‖  deb  atalgan.  Masalan,  ―Sonlar 
fani‖, bo`limida 9 soni yordamida sonlarning kvadratga va kubga ko`tarish amallarining to`g`riligini 
tekshirish haqida quyidagicha qoidalar berilgan: 
1. Kvadrat sonlarning birliklari raqami hamma vaqt 1,4,9,6 va 5 sonlaridan iborat bo`ladi deb 
ta`kidlaydi. So`ngra u yozadi: Kvadratlarni hindlar  usuli bilan tekshirishga 
kelganda bu 1 yoki 4, yoki 7 yoki 9 bo`lishi zarur. Negaki 1 ga mos 1 yoki 8, 
4  ga mos 2 yoki 7, 7 ga mos 4 yoki 5 va agar 9 bo`lsa unga 3 yoki 6, yoki 9 
mos bo`ladi. Bu qoidani quyidagicha tushuntirish mumkin: agar shunday son 
berilsaki, uni 9 ga bo`lganda qoldiq 1 yoki 8 bo`lsa, u vaqtda bu sonning 
kvadratini 9 ga bo`lganda qoldiq bir bo`ladi. Agar sonni 9 ga bo`lganda 
qoldiq 2 yoki 7 bo`lsa, u vaqtda bu sonning kvadratini 9 ga bo`lganda qoldiq 
4 chiqadi. Agar sonni 9 ga bo`lganda qoldiq 4 yoki 5 bo`lsa, u vaqtda bu 
sonning kvadratini 9 ga bo`lganda qoldiq 7 bo`ladi. Agar sonni 9 ga 
bo`lganda qoldiq 3, 6, 9 bo`lsa, u vaqtda bu sonning kvadratini 9 ga 
bo`lganda qoldiq 9 bo`ladi. 
 Masalan: 1). 73 sonini 9 ga bo`lganda qoldiq 1 bo`ladi, uning kvadrati 73² q 5329 sonini 9 ga 
bo`lganda qoldiq 1 bo`ladi. 2).85 sonini 9 ga bo`lganda qoldiq 4 bo`lsa, uning kvadrati 85² q 7225 
sonini 9 ga bo`lganda qoldiq 7 bo`ladi. 
2.Kublarning xossalaridan biri shundan iboratki, hind usuli orqali ularni tekshirish, ya`ni ularni 
hisoblash  uchun  qo`llaniladigan  tekshirish:  1,  8  yoki  9  sonlari  bo`ladi.  Agar  bu  1  bo`lsa,  kubga 
ko`tariladigan sonning birliklari raqami 1 yoki 4 yoki 7. Agar bu 8 bo`lsa, bu sonlar 8 yoki 2 yoki 5 
bo`ladi. Agar 9 bo`lsa, kubga ko`tariladigan sonning birliklari raqami 3 yoki 6 yoki 9 bo`ladi. 
Bu  qoidani  quyidagicha  tushuntirish  mumkin:  agar  sonni  9  ga  bo`lganda  qoldiq  1,4  yoki  7 
bo`lsa, u vaqtda bu son kubini 9 ga bo`lganda, qoldiq 1 bo`ladi.Agar sonni 9 ga bo`lganda qoldiq 
2,5 yoki  8 bo`lsa, u vaqtda  bu  sonning  kubini  9 ga bo`lganda  qoldiq 8  bo`ladi  va  agar  sonni 9  ga 
bo`lganda,  qoldiq  3,6  yoki  9  bo`lsa,  u  vaqtda  bu  son  kubini  9  ga  bo`lganda  qoldiq  9  bo`ladi. 
Masalan: 1)25 sonini 9 ga bo`lganda qoldiq 7 bo`ladi, uning kubi 25³q 15625 sonini 9 ga bo`lganda 
qoldiq 1 bo`ladi. 
2)  55  sonini  9  ga  bo`lganda  qoldiq  bir  bo`ladi.  Uning  kubi  55³  q  166375  sonini  to`qqizga 
bo`lganda qoldiq 1 bo`ladi. 
Ibn  Sino  tomonidan  berilgan  bu  qoidalar  shuni  ko`rsatadiki,  arifmetik  amallarni,  sonlarni 
kvadratga  va  kubga  ko`tarishning  to`g`riligini  9  soni  bilan  tekshirish  (mezon  olish)  O`rta  Osiyo 
matematikalariga  ma`lum  bo`lgan.  Keyinchalik  bu  qoidalar  O`rta  Osiyo  matematiklari  asarlari 
orqali G`arb mamlakatlariga tarqaldi. 
Ibn  Sino  tomonidan  berilgan  sonlarni  kvadratga  va  kubga  ko`tarishning  to`g`riligini  9  soni 
orqali tekshirish qoidalari, hozirgi vaqtda sonlar nazariyasi fanidagi kvadratik va kubik chegirmalar 
nazariyasiga tegishliki, ular taqqoslash vositasida echiladi. Bu qoidalarni hozirgi vaqtda, 9 moduli 
bo`yicha taqqoslash shaklida quyidagicha yozish mumkin: 
 
(9n±1)²≡ 1  
(9n±2)²≡ 4 
(9n±3)²≡ (9n

9) ≡ 9 

---

 
33 
(9n±4)²≡ 7 
(9n±1)³≡ (9n

4)³ ≡ (9n

7)³ ≡ 1 
SHunga o`xshash 
(9n±8)³ ≡ (9n

2)³≡ (9n

5)³ ≡ 8 
(9n±3)³≡ (9n

6)³ ≡ (9n

9)³ ≡ 9 
 
YUqorida  aytilgan  arifmetikaga  bag`ishlangan  «sonlar  fani»  bo`limi  43  ta`rif  va  201 
jumlalarni  o`z  ichiga  oladi.  Nikomaxning  «Arifmetikaga  kirish»  kitobi  asosida  yozilgan  bu 
bo`limda  natural  sonlar,  ularning  xossalari,  «shaklli  sonlar»  va  boshqa  arifmetik  masalalar  bayon 
etilgan. 
 
Bular orasida quyidagi muxim ahamiyatga ega jumla bayon etilgan: 
Berilgan  biror  son  kubga  kutarilganda  xosil  bo`lgan  sonning  oxirgi  raqami  biror  son  bo`lsin,  u 
vaqtda bu son kubining oxirgi raqami berilgan son oxirgi raqamiga teng bo`ladi. 
Hozirgi  belgilashlarga  asosan,  bu  xossani  shunday  ifodalash  mumkin:  Agar  N  q  an  10ⁿ  Q 
an_1  10ˉ¹Q  an  q  an  (mod  10)  son  berilgan  bo`lsa,  bu  sonning  kubi 
N
  ³  ning  oxirgi  raqami  ―b‖ 
bo`lsin. U vaqtda 
N
 ³q 
b 
(mod 10) bo`ladi. Demak, 
b
 ³q 
a0 
(mod 10).  
Masalan :         12 q 10 Q 2 q 2
 
(mod 10)
 
 
                     12³q 1728 q 8 (mod 10) 
bunda 8³q 512 ≡ 2 (mod 10) bo`ladi. 
Bu bo`limda, yana shunday jumla keltirilganki, bu Nikomax asarida keltirilmagan. ―Kubdan 
qirra ayrilsa, bu 6 karrali son bo`ladi‖. YA`ni, umumiy holda (n³— n) shaklidagi son 6 ga bo`linadi. 
 
Masalan:   n ═ 3 bo`lsa, 3³- 3 q 24q 4·6: 
n ═ 4 bo`lsa, 4³- 4 q 64-4q60q10·6: 
n ═ 8 bo`lsa, 8³- 8 q 512-8q504q84·6: 
n ═ 12 bo`lsa, 12³- 12 q 1728-12q1716q286·6: 
 
 
―Ash  -  shifo‖  asarida  geometriya  ―qisqartirilgan  Evklid‖  nomli  bo`limda  bayon  etilgan. 
Planimetriyaga  doir  bo`lim  58  ta`rif,  7  postulat,  5  aksioma  va  169  jumla  (teorema)dan  iborat. 
Stereometriyaga doir bo`limda esata`rif va 86 jumla (teorema) bayon etilgan. 
 
Bu  bo`limlarni  o`rganish  va  ularni  Evklidning  ―Negizlar‖  kitobi  bilan  solishtirish  sohasida 
olimlar tomonidan olib borilgan tekshirishlar shuni ko`rsatadiki, Ibn Sino kup hollarda masalalarni 
qisqa  va  sodda  holda  bayon  etishga  intilgan.  Ko`p  tushunchalarni  konkret  misollar  bilan 
tushintiradi, ba`zi jumlalar uchun o`z isbotlarini bayon etadi.