Мавзу: Математика фанининг тарихи, методи ва метадалогияси

AVS
-siniq   chiziq bo’lsin,  agar
AV> VS
bo’lsa va
AB
DE
BC
AD


,
bo’lsa, u vaqtda


EBC
AE
EV
+
VS
bo’lishini  isbotlash  kerak  (3-shakl).  Shuni  aytish  kerakki,  bu  teoremani
Beruniy  „Qonuni  Mas`udiy"  asarining  III  maqolasida  turli  trigonometrik  formulalarni  isbotlash
uchun keng ravishda tatbiq etadi. Shu sababli, Beruniy “Doiradagi vatarlarni aniqlash" risolasida bu
teoremaga  katta  ahamiyat  berib,  uning  Arximed  tomonidan  berilgan  uch  xil  isbotini  va  boshqa
matematiklar bergan 20 xil isbotlarini   qeltiradi.
Bular  orasida  Abul  Hasan  (O’rta  osiyolik  matematik,  Beruniyning  do’sti),  Abu  Said  al-
Jurjoniy (IX asrda yashagan Jurjonlik olim), Abu Ali ibn al-Haysam (965—1039, Basrlik, mashhur
matematik), Beruniyning o’zi bergan 8 xil isboti va ustozi Abu Nasr ibn Iroq bajargan isbotlar bor.

---

106
Arximed teoremasining ayrim isbotlari
1. Arximed   isboti:   DB
yoyiga  teng   DH yoyini ajratamiz (4-shakl),  DH va   DB kesmalarni
o’tkazamiz,
EG=EB
ni ajratamiz,  DG va  D
A
ni  o’tkazamiz.  U    vaqtda      DE
umumiy
perpendikulyar    bo’lganidan
DB=DG
bo’ladi. Shartga ko’ra
DA
DC

bo’lgani va undan tashqari
DH
DB

bo’lgani uchun,
BC
AH

bo’ladi.
ADN
va
NAD
burchaklarning yig’indisi  D
VA
yoki
DGB burchakka teng. Lekin
DGB

.
Shuning uchun

GDA
=

NDA
bo’lib,
DG=DH
va
DA umumiy        tomon        bo’lganidan,        bu      uchburchaklarda
AG= AN
bo’ladi.  Ammo
AN=VS
bo’lgandan
AG=BC
bo’ladi.  G
E  =  EV
bo’lgani  uchun,
AG
+  G
E=VS
+
EV
va
AE  =  EV
+
VS
bo’ladi. Mana shuni isbotlash kerak edi.
2.  Beruniy    isboti:  D
KO
diametrni      o’tkazamiz  (5-shakl). D
E
ni L nuqtagacha      davom
ettiramiz.   DL ga parallel
ON
ni o’tkazamiz.
OAH
DCL

bo’ladi.
ND
ni   o’tkazamiz. U vaqtda
FHD
to’g’ri burchak (diametrga tiralgan) va demak,
DEFH
to’g’ri  to’rtburchakdir. Bunda
HD=FE
va  KS||ED
o’tkazamiz.
K
markazdan  tushirilgan      KS
kesma
AV
va    HD
vatarlariga
perpendikulyar bo’lgani  uchun, ularni   teng  ikkiga   bo’ladi,  ya`ni HS=SD va   shuning   uchun
FM=ME. Demak,   qoldiq  kesmalar   AF=EB va
ND = FE,
demak, HD=BC
.
Bundan   FE=BC
bo’lib, ularga
AF
va
EV
o’zaro teng kesmalar qo’shilsa, AE=EB+BC bo’ladi.
Arximed  teoremasining  turli  xil  isbotlarini  bayon  etgandan  so’ng,  Beruniy  siniq
chiziqlarning  xossalarini  ifodalovchi  yana  bir  necha  teoremalarni  keltirib,  ularning  ham  IX — XI
asr  matematiklari  tomonidan  berilgan  18  xil  isbotlarini,  shuningdek  o’zi  bajargan isbotlarni  ham
bayon etadi.
So’ngra Beruniy bu asarda   geometrik   yasashga doir qator masalalarni yechadi. Bulardan
quyidagilarni keltiramiz.
1. Ma`lum uzunlikdagi terak yer sirtiga perpendikulyar holda o’sib turgan edi. U shamolda
sindi va shun day bukildiki, uchi yerga tegdi. Terakning tagidan uning yerga tegib turgan uchigacha
bo’lgan masofa ma`lum. Terak singan joyining balandligini topish kerak.