Мавзу: Ўлчов хатоликлари

Бевосита Улчовлар натижасининг хатоликларини бахолашда куйидаги функциядан фойдаланилади:
y=f(x₁,x₂,...x_n),
бу ерда f - аник функциядир, Х],Х2,...х_п - бевосита Улчов натижаси.
Хатоликни бахолаш учуй эса хатоликнинг тахминий формуласидан фойдаланилади.
Абсолют (мутлак) хатоликнинг максимал киймати куйидаги формула буйича хисобланади.
т
/=1Хатоликнинг нисбий киймати эса куйидаги формуладан топил ади:

эса (унинг дисперцияси) куйидагича
Тасодифий хатолик хисобланади:
Улчов воситаларини аниклигини, канчалик аник Улчовини бахолаш учуй Улчов воситаларининг аниклик классы (синфи) деган тушунча киритилган. Аниклик классы - бу Улчов воситаларини шундай умумлашган характеристикаси булиб, уларнинг йул куйиши мумкин булган асосий ва кушимча хатоликлари чегараси (доираси) билан аникданади. Демак аниклик класси Улчов воситасининг аниклик курсаткичи эмас, балки унинг хусусиятлари билан белгиланади, аникланади.
Тасодифий хатоликнинг нормал конун буйича
таксимланиши ва уни эхтимолий бахоланиши.
Улчов натижаларини кайта ишлаш усулларини урганишдан максад, Улчов натижасини улчанадиган катталикни асли (чинакам) кийматига канчалик якин эканлигини аниклаш, ёки унинг хакикий кийматини топиш, Улчовда косил буладиган хатоликнинг узгариш характерини аниклаш ва Улчов аниклигини бахолашдир.
Бир нарсага алохида ахамият беришга тугри келади. Юкорида олдинги мавзуларда айтилганидек, мунтазам хатоликларни чукур тахлили асосида аниклашимиз ва махсус чораларни куриб, сунгра уларни бартараф этишимиз, ёки камайтиришимиз мумкин экан. Тасодифий хатоликларда эса бу жумла уринли эмас. Бу турдаги хатоликларни факат бахолашимиз мумкин.
Х,ар кандай физикавий катталик улчанганда, унинг тахминий киймати аникланади. Бу кийматни эса тасодифий катталик деб хисоблаш керак ва у икки ташкил этувчидан иборат булади. Биринчи ташкил этувчиси такрор Улчовларда узгармайдиган ёки маълум конун буйича узгарадиган (купаядиган ёки камаювчи) булиб, уни мунтазам (систематик) хатолик дейилади. Бу ташкил этувчини - математик кутилиш деб юритиш мумкин. Иккинчи ташкил этувчи эса, тасодифий хатолик булади.
Агар Улчовда косил буладиган хатолик нормал конун буйича (Гаусс конуни) таксимланади десак, у холда уни математик тарзда куйидагича ёзиш мумкин:
1
у(А) = ~^=е
ау/271
бу ерда у (Л) - тасодифий хатоликнинг узгариш эхтимоллиги; с- уртача квадратик хатолик; Л(8) - тузатма ёки Л= X -Х, булиб, X, - алохида Улчовлар натижаси, X - эса улчанадиган катталикнинг эхтимолий киймати, ёки унинг уртача арифметик кийматидир.
Улчанадиган катталикнинг уртача арифметик киймати куйидагича топил ади:
_ х₁ + х₂+х₃+...+х_я
п
бу ерда xi, Х2, ... х_п- алохида Улчовлар натижаси; п- Улчовлар сони.
Уртача квадратик хатолик (узгариш) куйидагича топилади:
1=1
П -
Куйида келтирилган чизмада уртача квадратик хатоликларнинг кар хил кийматларида хатоликнинг узгариш эгри чизиклари курсатилган. Графикдан куриниб турибдики, уртача квадратик хатолик канчалик кичик булса, хатоликнинг кичик кийматлари шунчалик куп учрайди, демак, Улчов шунчалик юкори аникликда олиб борилган хисобланади. Улчов аниклигини бахолаш, эхтимоллик назариясининг конун ва коидаларига асосланиб бахоланади; яъни ишончли интервал ва уни характерловчи ишончли эхлимоллик кабул килинади.
Одатда, ишончли интервал х,ам, ишончли эх,тимоллик х,ам

Масалан: тасодифий хатоликнинг нормал конуни буйича таксимланишида (узгаришида) ишончли интервал +3<дт-3<д гача, ишончли эх,тимоллик эса 0,9973 кабул килиниши мумкин. Бу деган суз 370 тасодифий хатоликдан биттаси узининг абсолют киймати буйича Зет дан катта булади ва уни купол хатолик деб хисоблаб, Улчов натижаларини кайта ишлашда хисобга олинмайди.

Улчов натижасининг аниклигини бахолашда эхтимолий хатоликдан фойдаланилади. Эхтимолий хатолик эса, шундай хатоликки, унга нисбатан, кандайдир катталикни кайта улчаганда тасодифий хатоликнинг бир кисми абсолют киймати буйича эхтимолий хатоликдан куп, иккинчи кисми эса ундан шунча кам булади.
Бундан чикадики, эхтимолий хатолик, ишончли интервалга тенг булиб, бунда ишончли эхтимоллик Р=0,5 га тенг булади
Тасодифий хатолик нормал конун буйича таксимланганда эхтимолий хатолик куйидагича топилиши мумкин

бу ерда (у = - уртача арифметик киймат буйича
” 4п
квадратик хатоликдир. Эхтимолий хатолик бу усулда, купинча Улчовни бир неча ун, хаттоки юз маротаба такрорлаш имконияти булгандагина аникланади.
Баъзида Улчовни жуда куп маротаба такрорлаш имконияти булмайди, бундай холда эхтимолий хатолик Стьюдент коэффициенти ёрдамида аникланади. Бунда, коэффициент Улчовлар сони ва кабул килинган ишончли эхтимоллик киймати буйича махсус жадвалдан олинади. Бу холда, улчанадиган катталикнинг хаки кий киймати куйидаги формула буйича хисоблаб топил ади
X = X±t_ncr_n,
бу ерда, t_n - Стьюдент коэффициенти.
Шундай килиб, уртача квадратик хатолик улчанадиган катталикнинг хающий киймати исталган унинг уртача арифметик циймати атрофида булиш эхтимолини топишга имкон беради, п—»оо, булганда сг„ —>0 ёки Улчов сонини купайтириш билан ст„^О га интилиб боради. Бу эса уз навбатида Улчов аниклигини оширади.
Албатта, бундан Улчов аниклигини исталганча ошириш (кутариш) мумкин деган хулосага келмаслик керак, чунки Улчов аниклиги, тасодифий хатолик то мунтазам хатоликка тенглашгунча ошади.
Шунинг учуй, танлаб олинган ишончли интервал ва ишончли эхтимолик кийматлари буйича керакли Улчовлар сонини аниклаш мумкинки, бу эса тасодифий хатоликнинг Улчов натижасига хам таъсир курсатишини таъминласин.
Унинг нисбий бирликдаги киймати эса куйидаги ифода буйича аникланади:
s = ^-100%,
X
бу ерда А/ = t_n<5_n
Билвосита Улчов натижаларини кайта ишлаш.
Билвосита усулда Улчов натижаларини хатолигини аниклаймиз.
Агар изланаетган катталикни бевосита усулда улчанган катталикларнинг функцияси десак:
A = F(B, С) (6.1)
В ва С катталикларни Улчовдаги хатоликлари маълум булса изланаетган А катталигини хатолигини топиш мумкун.
В ва С катталикларни узгарувчан деб х,исоблаб (1.1) ифодани логарифмлаб ва дифференциаллаб куйидагига эса буламиз:


(6-2)
dA г / о ,■ _{/ r>} ^,dC
— = Вг (В, C)— + F₂ (В, С) —

Мавзу: Ўлчов хатоликлари. 1
Режа: 1
Ўлчов хатоликлари, уларнинг табакаланиши. 2
Мунтазам хатоликлар ва уларни камайтириш усуллари. Аддитив ва мультипликатив хатоликлар. 4
y=f(x₁,x₂,...x_n), 6
1 у(А) = ~^=е ау/271 7
_ х₁ + х₂+х₃+...+х_я 7
п 7
Билвосита Улчов натижаларини кайта ишлаш. 9

бу ерда: 8_А= —; 8_В= —; 8_С = — - лар А, В, С АВС.
катталикларининг нисбий хатоликлари.
(6.4) ифода В ва С катталикларининг хатоликларини билган холда изланаетган А катталигининг хатолигини аниклаш имконини беради. Купинча Зв ва Зс хатоликларининг ишораси ноаник булиб, Fi(B,C)3b ва F₂(B,C)3c кушилувчиларнинг ишораси бир хил деб х,исобланади.
Изланаётган А катталигини Улчов хатолиги улчанган В ва С катталиклари билан боглик булиб, куйидагича ифодаланади:
A = Bⁿ- С^т,
бу ерда: п ва т - даража курсаткичлари булиб, улар бутуй сон, каср сон, мусбат ва манфий булиши мумкин.
Тенгламанинг унг ва чап томонларини логарифмлаб у ни куйидагича ифодалаш мумкин:
In А = n In В + m In С.
Ифодани дифференциаллаймиз ва куйидагига эга буламиз:




dA dB dC

— = п \-т

АВС

dA, dB ва dC дифференциалларни кичик орттирмалар билан алмаштирамиз.

dA АВ АС

Мавзу: Ўлчов хатоликлари. 1
Режа: 1
Ўлчов хатоликлари, уларнинг табакаланиши. 2
Мунтазам хатоликлар ва уларни камайтириш усуллари. Аддитив ва мультипликатив хатоликлар. 4
y=f(x₁,x₂,...x_n), 6
1 у(А) = ~^=е ау/271 7
_ х₁ + х₂+х₃+...+х_я 7
п 7
Билвосита Улчов натижаларини кайта ишлаш. 9

катталикларининг нисбий хатоликлари.
Шундай килиб, изланаётган А катталигини В, С ва D катталиклари оркали унинг энг юкори нисбий хатолигини аниклаш мумкин:
A=B+C-D
Ифодани логарифмлаб ва дифференциаллаб ва dA, dB х,амда dC ларни орттирмалар билан алмаштирсак, изланаётган катталикнинг хатолигини куйидаги тенглама буйича топишимиз мумкин:


(6-6)
ЛА _ AB + AC-AD
А ~ B+C-D
Агар В + С « D булса, В, С ва D катталикларининг хатоликлари нисбатан кичик булишига карамай изланаётган А катталигининг хатолиги юкори булиши мумкин.